sin^2 x + 8sin x cos x + 12cos^2 x = 0

Привет! Давай разберемся с этим однородным тригонометрическим уравнением.

1. Преобразуем уравнение:

Это уравнение вида Asin^2 x + Bsin x cos x + Ccos^2 x = 0. Его можно решить, разделив обе части на cos^2 x (при условии, что cos x ≠ 0).

Если бы cos x = 0, то x = π/2 + πk. Тогда sin x = ±1, и уравнение превратилось бы в (±1)^2 = 0, что невозможно. Значит, cos x точно не равен нулю.

Делим всё на cos^2 x:

• \[ \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} + \frac{8\sin x \cos x}{\cos^2 x} + \frac{12\cos^2 x}{\cos^2 x} = 0 \]
• \[ \operatorname{tg}^2 x + 8\operatorname{tg} x + 12 = 0 \]

2. Замена переменной:

Пусть y = tg x. Тогда получаем квадратное уравнение:

• \[ y^2 + 8y + 12 = 0 \]

3. Решение квадратного уравнения:

Найдем дискриминант:

• \[ D = b^2 - 4ac \]
• \[ D = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 \]
• \[ D = 64 - 48 = 16 \]
• \[ y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]
• \[ y_1 = \frac{-8 + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-8 + 4}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \]
• \[ y_2 = \frac{-8 - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-8 - 4}{2} = \frac{-12}{2} = -6 \]

4. Обратная замена:

Теперь возвращаемся к tg x.

• Случай 1: tg x = -2

Это означает, что:

• \[ x = \operatorname{arctg}(-2) + \pi n \]

Примечание: Арктангенс отрицательного числа — это отрицательный угол. Его можно записать как x = -\operatorname{arctg}(2) + \pi n.

• Случай 2: tg x = -6

Это означает, что:

• \[ x = \operatorname{arctg}(-6) + \pi k \]

где n и k — любые целые числа.

Ответ:

• \[ x = \operatorname{arctg}(-2) + \pi n, \quad x = \operatorname{arctg}(-6) + \pi k, \quad n, k \in \mathbb{Z} \]