4tg x - 9ctg x + 9 = 0

Привет! Давай решим это тригонометрическое уравнение.

1. Преобразуем уравнение:

Мы видим tg x и ctg x. Вспомним, что ctg x = 1/tg x. Также учтем, что tg x и ctg x не должны быть равны нулю.

Заменим ctg x:

• \[ 4\operatorname{tg} x - \frac{9}{\operatorname{tg} x} + 9 = 0 \]

2. Замена переменной:

Пусть y = tg x. Тогда уравнение примет вид:

• \[ 4y - \frac{9}{y} + 9 = 0 \]

3. Решение уравнения:

Умножим всё на y (помня, что y ≠ 0):

• \[ 4y^2 - 9 + 9y = 0 \]
• \[ 4y^2 + 9y - 9 = 0 \]

Найдем дискриминант:

• \[ D = b^2 - 4ac \]
• \[ D = 9^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-9) \]
• \[ D = 81 + 144 = 225 \]
• \[ y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]
• \[ y_1 = \frac{-9 + \sqrt{225}}{2 \cdot 4} = \frac{-9 + 15}{8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} \]
• \[ y_2 = \frac{-9 - \sqrt{225}}{2 \cdot 4} = \frac{-9 - 15}{8} = \frac{-24}{8} = -3 \]

4. Обратная замена:

Возвращаемся к tg x.

• Случай 1: tg x = 3/4

Это означает, что:

• \[ x = \operatorname{arctg}\left(\frac{3}{4}\right) + \pi n \]

• Случай 2: tg x = -3

Это означает, что:

• \[ x = \operatorname{arctg}(-3) + \pi k \]

где n и k — любые целые числа.

Ответ:

• \[ x = \operatorname{arctg}\left(\frac{3}{4}\right) + \pi n, \quad x = \operatorname{arctg}(-3) + \pi k, \quad n, k \in \mathbb{Z} \]