10sin^2 x + 17cos x - 16 = 0

Привет! Давай решим это тригонометрическое уравнение.

1. Преобразуем уравнение:

Мы видим и sin x, и cos x. Чтобы свести все к одной функции, используем основное тригонометрическое тождество: sin^2 x + cos^2 x = 1. Отсюда sin^2 x = 1 - cos^2 x.

Подставляем:

• \[ 10(1 - \cos^2 x) + 17\cos x - 16 = 0 \]
• \[ 10 - 10\cos^2 x + 17\cos x - 16 = 0 \]
• \[ -10\cos^2 x + 17\cos x - 6 = 0 \]

Умножим на -1, чтобы коэффициент при квадрате был положительным:

• \[ 10\cos^2 x - 17\cos x + 6 = 0 \]

2. Замена переменной:

Пусть y = cos x. Тогда уравнение примет вид:

• \[ 10y^2 - 17y + 6 = 0 \]

3. Решение квадратного уравнения:

Найдем дискриминант:

• \[ D = b^2 - 4ac \]
• \[ D = (-17)^2 - 4 \cdot 10 \cdot 6 \]
• \[ D = 289 - 240 = 49 \]
• \[ y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]
• \[ y_1 = \frac{17 + \sqrt{49}}{2 \cdot 10} = \frac{17 + 7}{20} = \frac{24}{20} = \frac{6}{5} \]
• \[ y_2 = \frac{17 - \sqrt{49}}{2 \cdot 10} = \frac{17 - 7}{20} = \frac{10}{20} = \frac{1}{2} \]

4. Обратная замена:

Теперь возвращаемся к cos x.

• Случай 1: cos x = 6/5

Значение косинуса не может быть больше 1. Поэтому этот случай не имеет решений.

• Случай 2: cos x = 1/2

Это частный случай. Косинус равен 1/2 при:

• \[ x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n \]

где n — любое целое число.

Ответ:

• \[ x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]