7 Сформулируйте и докажите теорему об отношении площадей двух треугольников, имеющих по равному углу.

Теорема: Отношение площадей двух треугольников, имеющих равные углы, равно отношению произведений сторон, заключающих эти углы.

Доказательство:

Пусть даны треугольники ABC и A₁B₁C₁, у которых ∠A = ∠A₁. Тогда отношение площадей этих треугольников равно: $$\frac{S_{ABC}}{S_{A_1B_1C_1}} = \frac{AB \cdot AC}{A_1B_1 \cdot A_1C_1}$$.

Площадь треугольника ABC можно вычислить как $$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin{A}$$. Аналогично, площадь треугольника A₁B₁C₁ равна $$S_{A_1B_1C_1} = \frac{1}{2} \cdot A_1B_1 \cdot A_1C_1 \cdot \sin{A_1}$$. Тогда отношение площадей: $$\frac{S_{ABC}}{S_{A_1B_1C_1}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin{A}}{\frac{1}{2} \cdot A_1B_1 \cdot A_1C_1 \cdot \sin{A_1}}$$. Так как ∠A = ∠A₁, то sin(A) = sin(A₁). Следовательно, $$\frac{S_{ABC}}{S_{A_1B_1C_1}} = \frac{AB \cdot AC}{A_1B_1 \cdot A_1C_1}$$.

Теорема доказана.

Ответ: Отношение площадей двух треугольников, имеющих равный угол, равно отношению произведений сторон, заключающих этот угол.