Саша нарисовал равносторонний треугольник PQR. Точка S – середина основания PR. Точка М - середина высоты QS, точка L лежит на стороне PQ. LM параллельна PR. Какую часть площади треугольника PQR составляет площадь четырёхугольника PLMS? (A) \frac{1}{8} (Б) \frac{1}{10} (B) \frac{1}{4} (Г) \frac{3}{8} (Д) \frac{1}{3}

Ответ: (Г) \(\frac{3}{8}\)

Т.к. LM || PR, то треугольник QLM подобен треугольнику QPR.

Т.к. M - середина высоты QS, то QM = \(\frac{1}{2}\)QS.

Значит коэффициент подобия k = \(\frac{1}{2}\).

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия, т.е.

\[\frac{S_{QLM}}{S_{QPR}} = k^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}\]

Площадь треугольника QLM составляет \(\frac{1}{4}\) от площади треугольника QPR. Тогда площадь четырехугольника PLMS составляет:

\[S_{PLMS} = S_{QPR} - S_{QLM} = S_{QPR} - \frac{1}{4}S_{QPR} = \frac{3}{4}S_{QPR}\]

Но так как S - середина основания PR, то площадь треугольника QSR составляет половину площади треугольника QPR:

\[S_{QSR} = \frac{1}{2}S_{QPR}\]

Тогда площадь четырехугольника PLMS как часть площади треугольника PQR равна:

\[\frac{S_{PLMS}}{S_{PQR}} = \frac{\frac{3}{4}S_{QPR}}{2S_{QSR}} = \frac{\frac{3}{4}S_{QPR}}{2 \cdot \frac{1}{2}S_{QPR}} = \frac{3}{4}\]

Ответ: (Г) \(\frac{3}{8}\)