4. Решите уравнения: a) $$8^{x-2}+2\cdot 8^{x}-2\cdot 8^{x-1}=904$$; б) $$3\cdot 9^{x}-10\cdot 3^{x}+3=0$$.

Решим уравнения:

1. a) $$8^{x-2}+2\cdot 8^{x}-2\cdot 8^{x-1}=904$$

   Представим все члены как степени с основанием 8:

   $$\frac{8^x}{8^2} + 2 \cdot 8^x - 2 \cdot \frac{8^x}{8} = 904$$

   Вынесем $$8^x$$ за скобки:

   $$8^x \left(\frac{1}{64} + 2 - \frac{2}{8}\right) = 904$$

   $$8^x \left(\frac{1}{64} + 2 - \frac{1}{4}\right) = 904$$

   $$8^x \left(\frac{1}{64} + \frac{128}{64} - \frac{16}{64}\right) = 904$$

   $$8^x \left(\frac{113}{64}\right) = 904$$

   $$8^x = 904 \cdot \frac{64}{113}$$

   $$8^x = 8 \cdot 64 = 8 \cdot 8^2 = 8^3$$

   $$8^x = 8^3$$

   Следовательно, x = 3

   Ответ: 3

2. б) $$3\cdot 9^{x}-10\cdot 3^{x}+3=0$$

   Заметим, что $$9^x = (3^2)^x = (3^x)^2$$. Пусть $$y = 3^x$$. Тогда уравнение можно переписать как:

   $$3y^2 - 10y + 3 = 0$$

   Решим квадратное уравнение для y:

   D = $$(-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64$$

   $$y_1 = \frac{10 + \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 + 8}{6} = \frac{18}{6} = 3$$

   $$y_2 = \frac{10 - \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 - 8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$

   Теперь найдем x для каждого значения y:

   1) $$3^x = 3$$, тогда x = 1

   2) $$3^x = \frac{1}{3}$$, тогда $$3^x = 3^{-1}$$, тогда x = -1

   Ответ: -1; 1