5. Решите уравнение $$3\cdot 25^{x}+4\cdot 15^{x}-15\cdot 9^{x}=0$$.

Решим уравнение $$3\cdot 25^{x}+4\cdot 15^{x}-15\cdot 9^{x}=0$$.

Разделим обе части уравнения на $$9^x$$:

$$3 \cdot \frac{25^x}{9^x} + 4 \cdot \frac{15^x}{9^x} - 15 = 0$$

$$3 \cdot \left(\frac{25}{9}\right)^x + 4 \cdot \left(\frac{15}{9}\right)^x - 15 = 0$$

$$3 \cdot \left(\frac{5}{3}\right)^{2x} + 4 \cdot \left(\frac{5}{3}\right)^x - 15 = 0$$

Пусть $$y = \left(\frac{5}{3}\right)^x$$. Тогда уравнение можно переписать как:

$$3y^2 + 4y - 15 = 0$$

Решим квадратное уравнение для y:

D = $$4^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-15) = 16 + 180 = 196$$

$$y_1 = \frac{-4 + \sqrt{196}}{2 \cdot 3} = \frac{-4 + 14}{6} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$$

$$y_2 = \frac{-4 - \sqrt{196}}{2 \cdot 3} = \frac{-4 - 14}{6} = \frac{-18}{6} = -3$$

Теперь найдем x для каждого значения y:

1) $$\left(\frac{5}{3}\right)^x = \frac{5}{3}$$, тогда x = 1

2) $$\left(\frac{5}{3}\right)^x = -3$$, не имеет решений, так как показательная функция всегда положительна.

Ответ: 1