Решите уравнение: $$\frac{x^2 - 9x + 50}{x^2 - 5x} = \frac{x+1}{x-5} + \frac{x-5}{x}$$

Начнем с решения уравнения: $$\frac{x^2 - 9x + 50}{x^2 - 5x} = \frac{x+1}{x-5} + \frac{x-5}{x}$$ Приведем правую часть к общему знаменателю: $$\frac{x^2 - 9x + 50}{x(x - 5)} = \frac{x(x+1) + (x-5)(x-5)}{x(x-5)}$$ $$\frac{x^2 - 9x + 50}{x(x - 5)} = \frac{x^2 + x + x^2 - 10x + 25}{x(x-5)}$$ $$\frac{x^2 - 9x + 50}{x(x - 5)} = \frac{2x^2 - 9x + 25}{x(x-5)}$$ Теперь, когда знаменатели равны, приравняем числители: $$x^2 - 9x + 50 = 2x^2 - 9x + 25$$ Перенесем все члены в правую часть: $$0 = x^2 - 25$$ $$x^2 = 25$$ $$x = \pm 5$$ Проверим корни на допустимость. Так как в знаменателе исходного уравнения есть выражения $$x$$ и $$x-5$$, значения $$x=0$$ и $$x=5$$ не допустимы. Следовательно, $$x=5$$ - посторонний корень. Остается только $$x = -5$$. Ответ: x = -5