20. Решите уравнение \((x-3)^4 - 8(x-3)^2 - 9 = 0\).

Решение:

1. Сделаем замену \(y = (x-3)^2\).

Уравнение примет вид: \(y^2 - 8y - 9 = 0\).

2. Решим квадратное уравнение.

\(y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\), где \(a = 1\), \(b = -8\), \(c = -9\).

\(y_{1,2} = \frac{-(-8) \pm \sqrt{(-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9)}}{2 \cdot 1} = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 36}}{2} = \frac{8 \pm 10}{2}\).

\(y_1 = 9\), \(y_2 = -1\).

3. Так как \(y = (x-3)^2\) и квадрат числа не может быть отрицательным, то \(y = -1\) не подходит. Остается \(y = 9\).

4. Возвращаемся к исходной переменной: \((x-3)^2 = 9\).

\(x - 3 = \pm 3\).

\(x_1 = 6\), \(x_2 = 0\).

Ответ: \(x = 6\) или \(x = 0\).