Решение уравнения методом выделения полного квадрата

Дано уравнение: $$x^2 - 14x + 24 = 0.$$

Наша задача – представить левую часть уравнения в виде полного квадрата. Для этого выделим квадрат разности:

1. Запишем уравнение в виде: $$x^2 - 2 \cdot 7 \cdot x + 24 = 0.$$

2. Чтобы получить полный квадрат, нам нужно добавить и вычесть $$7^2 = 49$$:

   $$x^2 - 14x + 49 - 49 + 24 = 0$$

3. Теперь сгруппируем первые три члена, чтобы получить полный квадрат:

   $$(x - 7)^2 - 49 + 24 = 0$$

4. Упростим выражение:

   $$(x - 7)^2 - 25 = 0$$

5. Перенесем число -25 в правую часть уравнения:

   $$(x - 7)^2 = 25$$

6. Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

   $$x - 7 = \pm 5$$

7. Найдем два возможных значения для x:

   • $$x - 7 = 5 \Rightarrow x_1 = 7 + 5 = 12$$

   • $$x - 7 = -5 \Rightarrow x_2 = 7 - 5 = 2$$

Таким образом, уравнение имеет два корня: $$x_1 = 12$$ и $$x_2 = 2$$.

Ответ: $$x_1 = 12, x_2 = 2$$