Решите уравнение х² + y² - 2x + 6y + 10 = 0.

Решение:

Приведём уравнение к виду, где члены с \( x \) и \( y \) сгруппированы, и дополним до полных квадратов.

1. Сгруппируем члены: \( (x^2 - 2x) + (y^2 + 6y) + 10 = 0 \).
2. Дополним до полного квадрата для \( x \): \( x^2 - 2x + 1 \). Для этого нам нужно \( +1 \).
3. Дополним до полного квадрата для \( y \): \( y^2 + 6y + 9 \). Для этого нам нужно \( +9 \).
4. Перепишем уравнение, используя эти полные квадраты. Обратите внимание, что \( 1 + 9 = 10 \), что совпадает со свободным членом в исходном уравнении:
• \( (x^2 - 2x + 1) + (y^2 + 6y + 9) = 0 \)
• \( (x - 1)^2 + (y + 3)^2 = 0 \)
5. Сумма квадратов двух действительных чисел может быть равна нулю только в том случае, если каждое из этих чисел равно нулю.
• \( x - 1 = 0 \) \( \implies \) \( x = 1 \)
• \( y + 3 = 0 \) \( \implies \) \( y = -3 \)

Ответ: (1; -3).