Решите уравнение: 4) 3^(2x-6) = 9^(sqrt(x));

Решение:

Приведём обе части уравнения к одному основанию.

1. Запишем 9 как \( 3^2 \): \( 3^{2x-6} = (3^2)^{\sqrt{x}} \).
2. Упростим правую часть: \( 3^{2x-6} = 3^{2\sqrt{x}} \).
3. Приравняем показатели степеней: \( 2x-6 = 2\sqrt{x} \).
4. Разделим обе части на 2: \( x-3 = \sqrt{x} \).
5. Возведём обе части в квадрат, чтобы избавиться от корня. При этом нужно учесть, что \( x-3 \ge 0 \), то есть \( x \ge 3 \).
6. \( (x-3)^2 = x \).
7. Раскроем скобки: \( x^2 - 6x + 9 = x \).
8. Перенесём все члены в одну сторону: \( x^2 - 7x + 9 = 0 \).
9. Решим полученное квадратное уравнение. Найдём дискриминант: \( D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 49 - 36 = 13 \).
10. Найдём корни: \( x_1 = \frac{7 + \sqrt{13}}{2} \) и \( x_2 = \frac{7 - \sqrt{13}}{2} \).
11. Проверим условие \( x \ge 3 \). \( \sqrt{13} \) приблизительно равно 3.6.
12. \( x_1 = \frac{7 + 3.6}{2} = \frac{10.6}{2} = 5.3 \). Это значение удовлетворяет условию \( x \ge 3 \).
13. \( x_2 = \frac{7 - 3.6}{2} = \frac{3.4}{2} = 1.7 \). Это значение НЕ удовлетворяет условию \( x \ge 3 \).

Ответ: x = \( \frac{7 + \sqrt{13}}{2} \).