20. Решите систему уравнений \begin{cases} x^2 + y^2 = 50 \\ xy = 7 \end{cases}

Решение: 1) Выразим y через x из второго уравнения: \(y = \frac{7}{x}\) 2) Подставим в первое уравнение: \(x^2 + (\frac{7}{x})^2 = 50\) 3) Упростим: \(x^2 + \frac{49}{x^2} = 50\) 4) Умножим обе части на \(x^2\): \(x^4 + 49 = 50x^2\) 5) Перенесём всё в одну сторону: \(x^4 - 50x^2 + 49 = 0\) 6) Сделаем замену: \(t = x^2\), тогда уравнение примет вид: \(t^2 - 50t + 49 = 0\) 7) Решим квадратное уравнение: \(D = (-50)^2 - 4 * 1 * 49 = 2500 - 196 = 2304\), \(\sqrt{D} = 48\) 8) Найдем корни: \(t_1 = \frac{50 + 48}{2} = 49\), \(t_2 = \frac{50 - 48}{2} = 1\) 9) Вернёмся к замене: * \(x^2 = 49\), следовательно, \(x_1 = 7\), \(x_2 = -7\) * \(x^2 = 1\), следовательно, \(x_3 = 1\), \(x_4 = -1\) 10) Найдем соответствующие значения y: * Если \(x = 7\), то \(y = \frac{7}{7} = 1\) * Если \(x = -7\), то \(y = \frac{7}{-7} = -1\) * Если \(x = 1\), то \(y = \frac{7}{1} = 7\) * Если \(x = -1\), то \(y = \frac{7}{-1} = -7\) Ответ: (7; 1), (-7; -1), (1; 7), (-1; -7)