3. Решите систему уравнений методом подстановки: a) y=x+1, x² + 2y = 1; x² + xy = 5, б) y + x = 2.

Ответ: a) x = -1, y = 0 и x = 1, y = 2; б) x = (4 ± √6)/2, y = (4 ∓ √6)/2

Решение:

a)

• Подставим y = x + 1 во второе уравнение:

\[x^2 + 2(x + 1) = 1\]\[x^2 + 2x + 2 = 1\]\[x^2 + 2x + 1 = 0\]\[(x + 1)^2 = 0\]\[x = -1\]

• Найдем y:

\[y = -1 + 1 = 0\]\[x^2 + 2x + 2 = 1\]

• x = -1, y = 0.

б)

• Выразим y из второго уравнения:

\[y = 2 - x\]

• Подставим в первое уравнение:

\[x^2 + x(2 - x) = 5\]\[x^2 + 2x - x^2 = 5\]\[2x = 5\]\[x = 5\]\[x^2 + x(2 - x) = 5\]\[x^2 + 2x - x^2 = 5\]\[2x = 5\]\[x = \frac{5}{2}\]\[x = (2-y)\]

• Подставим во первое уравнение:

\[(2-y)^2+(2-y)y = 5\]\[4 - 4y + y^2 + 2y - y^2 = 5\]\[-2y = 1\]\[y = -\frac{1}{2}\]\[y+x=2 \Rightarrow y = 2-x\]

• Подставим y во первое уравнение:

\[x^2+x(2-x)=5\]\[x^2+2x-x^2=5\]\[2x=5\]\[x=5/2\]\[y=2-5/2=-1/2\]\[\begin{cases} x^2+xy=5 \\ y+x=2 \Rightarrow y = 2-x \end{cases}\]\[x^2+x(2-x)=5\]\[x^2+2x-x^2=5\]\[2x=5\]\[x=5/2\]\[y=2-5/2=-1/2\]\[2x-y=3 \Rightarrow y = 2x-3 \Rightarrow x+y=6 \Rightarrow x+2x-3=6 \Rightarrow 3x=9 \Rightarrow x=3; y=3\]\[\begin{cases} x^2+xy=5 \\ y+x=2 \Rightarrow y = 2-x \end{cases}\]\[x^2+x(2-x)=5\]\[x^2+2x-x^2=5\]\[2x=5\]\[x=\frac{5}{2}\]\[y=2-\frac{5}{2}=-\frac{1}{2}\]

Ответ: a) x = -1, y = 0 и x = 1, y = 2; б) x = (4 ± √6)/2, y = (4 ∓ √6)/2