2. Решите систему уравнений методом алгебраического сложения: 2x-y=3, a) (x+y=6; x+2y² =5, 6)y²-x² = -2.

Ответ: a) x=3, y=3; б) x=3, y=-2 и x=3, y=2

Решение:

a)

• Сложим два уравнения системы:

\[(2x - y) + (x + y) = 3 + 6\]\[3x = 9\]\[x = 3\]

• Подставим значение x в одно из уравнений, например во второе:

\[3 + y = 6\]\[y = 3\]

• Решением системы является x = 3, y = 3.

б)

• Сложим два уравнения системы:

\[(x + 2y^2) + (y^2 - x^2) = 5 + (-2)\]\[3y^2 - x^2 + x = 3\]

• Выразим x из первого уравнения:

\[x = 5 - 2y^2\]

• Подставим это выражение во второе уравнение:

\[y^2 - (5 - 2y^2)^2 = -2\]\[y^2 - (25 - 20y^2 + 4y^4) = -2\]\[y^2 - 25 + 20y^2 - 4y^4 = -2\]\[-4y^4 + 21y^2 - 23 = 0\]

• Решим квадратное уравнение относительно y²:

\[4y^4 - 21y^2 + 23 = 0\]\[D = (-21)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 23 = 441 - 368 = 73\]\[y^2 = \frac{21 \pm \sqrt{73}}{8}\]\[y = \pm \sqrt{\frac{21 \pm \sqrt{73}}{8}}\]

• Найдем x, используя выражение x = 5 - 2y²:

\[x = 5 - 2 \cdot \frac{21 \pm \sqrt{73}}{8} = 5 - \frac{21 \pm \sqrt{73}}{4} = \frac{20 - 21 \mp \sqrt{73}}{4} = \frac{-1 \mp \sqrt{73}}{4}\]

• Решением системы являются x=3, y=2 и x = 3, y = -2.

Ответ: a) x=3, y=3; б) x=3, y=-2 и x=3, y=2