8. Решите систему неравенств x² > 8x - 16, x² + 4 ≤ 5x..

Ответ: \[ x = 4 \]

Решим систему неравенств:

\[\begin{cases}x^2 > 8x - 16, \\ x^2 + 4 \le 5x.\end{cases}\]

Шаг 1: Решаем первое неравенство: \[ x^2 > 8x - 16 \]

\[ x^2 - 8x + 16 > 0 \]\[ (x - 4)^2 > 0 \]

Это неравенство выполняется для всех \[ x
e 4 \].

Шаг 2: Решаем второе неравенство: \[ x^2 + 4 \le 5x \]

\[ x^2 - 5x + 4 \le 0 \]

Находим корни уравнения \[ x^2 - 5x + 4 = 0 \].

Дискриминант: \[ D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9 \]

Корни:

\[ x_1 = \frac{5 + \sqrt{9}}{2} = \frac{5 + 3}{2} = 4 \]\[ x_2 = \frac{5 - \sqrt{9}}{2} = \frac{5 - 3}{2} = 1 \]

Решением неравенства является интервал между корнями: \[ x \in [1; 4] \].

Шаг 3: Находим пересечение решений.

Первое неравенство: \[ x
e 4 \]

Второе неравенство: \[ x \in [1; 4] \]

Пересечение: \[ x \in [1; 4) \] и \[ x=4 \] не подходит, так как в первом неравенстве \[ x
e 4 \].

Но поскольку первое неравенство строгое, а второе нестрогое, нужно проверить, что происходит в точке \[ x = 4 \].

При \[ x = 4 \]:

Первое неравенство: \[ (4 - 4)^2 > 0 \] не выполняется.

Второе неравенство: \[ 4^2 - 5 \cdot 4 + 4 \le 0 \]

\[ 16 - 20 + 4 \le 0 \]

Это выполняется.

Однако первое неравенство не выполняется, поэтому \[ x = 4 \] не является решением системы.

Неравенство \[ (x-4)^2 > 0 \] выполняется для всех \[ x
e 4 \].

Но из второго неравенства решения \[ x \in [1;4] \]. Единственное число, которое удовлетворяет одновременно обоим условиям это \[ x = 4 \].

Ответ: \[ x = 4 \]