7. Найдите для функции у = х²-2x + 8: а) область определения; б) множество значений; в) наименьшее (наибольшее) значение; г) уравнение оси симметрии параболы; д) нули; е) промежутки знакопостоянства; ж) промежутки монотонности.

Ответ: а) \( x \in \mathbb{R} \), б) \( y \in [7; +\infty) \), в) Наименьшее значение: 7, г) \( x = -1 \), д) Нулей нет, е) \( y > 0 \) для всех \( x \in \mathbb{R} \), ж) Функция убывает на \( (-\infty; -1] \) и возрастает на \( [-1; +\infty) \).

Исследуем функцию \[ y = -x^2 - 2x + 8 \].

а) Область определения:

Так как это квадратная функция, область определения - все действительные числа:

\[ x \in \mathbb{R} \]

б) Множество значений:

Найдем вершину параболы:

\[ x_v = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-2)}{2 \cdot (-1)} = \frac{2}{-2} = -1 \]\[ y_v = -(-1)^2 - 2(-1) + 8 = -1 + 2 + 8 = 9 \]

Поскольку коэффициент при \[ x^2 \] отрицателен, парабола направлена вниз, и вершина является максимальной точкой. Следовательно, множество значений:

\[ y \in (-\infty; 9] \]

в) Наибольшее значение:

Наибольшее значение функции равно значению функции в вершине параболы:

\[ y_{max} = 9 \]

г) Уравнение оси симметрии параболы:

Ось симметрии проходит через вершину параболы, поэтому уравнение оси симметрии:

\[ x = -1 \]

д) Нули функции:

Решим уравнение \[ -x^2 - 2x + 8 = 0 \].

Умножим на -1: \[ x^2 + 2x - 8 = 0 \].

Найдем дискриминант: \[ D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36 \].

Корни:

\[ x_1 = \frac{-2 + \sqrt{36}}{2} = \frac{-2 + 6}{2} = \frac{4}{2} = 2 \]\[ x_2 = \frac{-2 - \sqrt{36}}{2} = \frac{-2 - 6}{2} = \frac{-8}{2} = -4 \]

Нули функции: \[ x = 2 \] и \[ x = -4 \].

е) Промежутки знакопостоянства:

Функция положительна между нулями, т.е. при \[ x \in (-4; 2) \].

Функция отрицательна при \[ x \in (-\infty; -4) \cup (2; +\infty) \].

ж) Промежутки монотонности:

Функция возрастает на \[ (-\infty; -1] \], так как парабола направлена вниз.

Функция убывает на \[ [-1; +\infty) \].

Ответ: а) \( x \in \mathbb{R} \), б) \( y \in (-\infty; 9] \), в) Наибольшее значение: 9, г) \( x = -1 \), д) Нули: \( x = 2 \) и \( x = -4 \), е) \( y > 0 \) при \( x \in (-4; 2) \) и \( y < 0 \) при \( x \in (-\infty; -4) \cup (2; +\infty) \), ж) Функция возрастает на \( (-\infty; -1] \) и убывает на \( [-1; +\infty) \).