266. Решите неравенство: a) 2x² + 13x - 7 > 0; б) -9x² + 12x - 4 < 0; в) 6х2 - 13х + 5 ≤ 0; e) 8 - x² < 0.

a) 2x² + 13x - 7 > 0 Решим квадратное уравнение 2x² + 13x - 7 = 0: D = 13² - 4 * 2 * (-7) = 169 + 56 = 225 x₁ = (-13 + √225) / (2 * 2) = (-13 + 15) / 4 = 2 / 4 = 0.5 x₂ = (-13 - √225) / (2 * 2) = (-13 - 15) / 4 = -28 / 4 = -7 Так как коэффициент при x² положительный (2 > 0), парабола направлена вверх. Неравенство 2x² + 13x - 7 > 0 выполняется, когда парабола находится выше оси x. Решением неравенства является: x < -7 или x > 0.5 $$x \in (-\infty; -7) \cup (0.5; +\infty)$$ б) -9x² + 12x - 4 < 0 Умножим обе части неравенства на -1, изменив знак неравенства: 9x² - 12x + 4 > 0 Заметим, что 9x² - 12x + 4 = (3x - 2)² (3x - 2)² > 0 Это неравенство выполняется для всех x, кроме x = 2/3, где (3x - 2)² = 0. Решением неравенства является: x ≠ 2/3 $$x \in (-\infty; \frac{2}{3}) \cup (\frac{2}{3}; +\infty)$$ в) 6x² - 13x + 5 ≤ 0 Решим квадратное уравнение 6x² - 13x + 5 = 0: D = (-13)² - 4 * 6 * 5 = 169 - 120 = 49 x₁ = (13 + √49) / (2 * 6) = (13 + 7) / 12 = 20 / 12 = 5 / 3 x₂ = (13 - √49) / (2 * 6) = (13 - 7) / 12 = 6 / 12 = 1 / 2 Так как коэффициент при x² положительный (6 > 0), парабола направлена вверх. Неравенство 6x² - 13x + 5 ≤ 0 выполняется, когда парабола находится ниже или на оси x. Решением неравенства является: 1/2 ≤ x ≤ 5/3 $$x \in [\frac{1}{2}; \frac{5}{3}]$$ e) 8 - x² < 0 Умножим обе части неравенства на -1, изменив знак неравенства: x² - 8 > 0 Решим квадратное уравнение x² - 8 = 0: x² = 8 x₁ = √8 = 2√2 x₂ = -√8 = -2√2 Так как коэффициент при x² положительный (1 > 0), парабола направлена вверх. Неравенство x² - 8 > 0 выполняется, когда парабола находится выше оси x. Решением неравенства является: x < -2√2 или x > 2√2 $$x \in (-\infty; -2\sqrt{2}) \cup (2\sqrt{2}; +\infty)$$ Ответ: a) $$x \in (-\infty; -7) \cup (0.5; +\infty)$$, б) $$x \in (-\infty; \frac{2}{3}) \cup (\frac{2}{3}; +\infty)$$, в) $$x \in [\frac{1}{2}; \frac{5}{3}]$$, e) $$x \in (-\infty; -2\sqrt{2}) \cup (2\sqrt{2}; +\infty)$$