Решите неравенство: (x²-x-6)(x²-8x+15) ≥ 0.

Решение:

Для решения данного неравенства разложим оба квадратных трёхчлена на множители.

Первый трёхчлен: \( x^2 - x - 6 \). Найдем его корни: \( x^2 - x - 6 = 0 \). Дискриминант \( D = (-1)^2 - 4(1)(-6) = 1 + 24 = 25 \). Корни: \( x_1 = \frac{1 + \sqrt{25}}{2} = \frac{1+5}{2} = 3 \) и \( x_2 = \frac{1 - \sqrt{25}}{2} = \frac{1-5}{2} = -2 \). Таким образом, \( x^2 - x - 6 = (x-3)(x+2) \).

Второй трёхчлен: \( x^2 - 8x + 15 \). Найдем его корни: \( x^2 - 8x + 15 = 0 \). Дискриминант \( D = (-8)^2 - 4(1)(15) = 64 - 60 = 4 \). Корни: \( x_3 = \frac{8 + \sqrt{4}}{2} = \frac{8+2}{2} = 5 \) и \( x_4 = \frac{8 - \sqrt{4}}{2} = \frac{8-2}{2} = 3 \). Таким образом, \( x^2 - 8x + 15 = (x-5)(x-3) \).

Теперь неравенство примет вид: \( (x-3)(x+2)(x-5)(x-3) \ge 0 \), что упрощается до \( (x-3)^2 (x+2)(x-5) \ge 0 \).

Рассмотрим знаки множителей на числовой оси. Точки, обращающие множители в ноль: \( -2, 3, 5 \).

При \( x > 5 \): \( (x-3)^2 > 0, x+2 > 0, x-5 > 0 \). Произведение положительное.

При \( 3 < x < 5 \): \( (x-3)^2 > 0, x+2 > 0, x-5 < 0 \). Произведение отрицательное.

При \( -2 < x < 3 \): \( (x-3)^2 > 0, x+2 > 0, x-5 < 0 \). Произведение отрицательное.

При \( x < -2 \): \( (x-3)^2 > 0, x+2 < 0, x-5 < 0 \). Произведение положительное.

Заметим, что \( (x-3)^2 \ge 0 \) при любых \( x \). Поэтому знак всего выражения зависит от знака \( (x+2)(x-5) \) и при \( x=3 \) неравенство выполняется (равно 0).

Используем метод интервалов. Расставляем корни: -2, 3, 5.

• Интервал \( (-\infty, -2) \): \( (-)^2 \cdot (-) \cdot (-) = + \ge 0 \) (верно)
• Точка \( x = -2 \): \( (-2-3)^2 (-2+2)(-2-5) = 25 · 0 · (-7) = 0 \) (верно)
• Интервал \( (-2, 3) \): \( (3-3)^2 (3+2)(3-5) = 9 · 5 · (-2) = -90 < 0 \) (неверно)
• Точка \( x = 3 \): \( (3-3)^2 (3+2)(3-5) = 0 · 5 · (-2) = 0 \) (верно)
• Интервал \( (3, 5) \): \( (5-3)^2 (5+2)(5-5) = 4 · 7 · 0 = 0 \) (верно)
• Точка \( x = 5 \): \( (5-3)^2 (5+2)(5-5) = 4 · 7 · 0 = 0 \) (верно)
• Интервал \( (5, \infty) \): \( (x-3)^2 · (+) · (+) > 0 \) (верно)

Объединяя верные интервалы и точки, получаем решение.

Ответ: \( x \in [ -2, 5 ] \).