Решите неравенство: (x² - 7x + 12) / (x - 3) ≤ 0.

Решение:

Сначала найдем корни числителя и знаменателя.

Числитель: \( x^2 - 7x + 12 = 0 \). Дискриминант \( D = (-7)^2 - 4(1)(12) = 49 - 48 = 1 \). Корни: \( x_1 = \frac{7 + \sqrt{1}}{2} = \frac{7+1}{2} = 4 \) и \( x_2 = \frac{7 - \sqrt{1}}{2} = \frac{7-1}{2} = 3 \).

Знаменатель: \( x - 3 = 0 \) => \( x = 3 \).

Теперь рассмотрим знак выражения \( \frac{(x-3)(x-4)}{x-3} \le 0 \).

Обратите внимание, что \( x \ne 3 \) (знаменатель не может быть равен нулю).

Если \( x \ne 3 \), то \( \frac{(x-3)(x-4)}{x-3} = x-4 \).

Таким образом, задача сводится к решению неравенства \( x - 4 \le 0 \) при условии \( x \ne 3 \).

Решим \( x - 4 \le 0 \): \( x \le 4 \).

Учитывая условие \( x \ne 3 \), получаем, что \( x \in (-\infty, 3) \cup (3, 4] \).

1. Разложим числитель на множители: \( x^2 - 7x + 12 = (x-3)(x-4) \).
2. Перепишем неравенство: \( \frac{(x-3)(x-4)}{x-3} \le 0 \).
3. Так как \( x \ne 3 \), мы можем сократить \( (x-3) \) при условии, что \( x-3 \) не равен нулю.
4. Неравенство примет вид: \( x - 4 \le 0 \).
5. Решая это неравенство, получаем \( x \le 4 \).
6. Учитывая, что \( x \ne 3 \), окончательное решение: \( x \in (-\infty, 3) \cup (3, 4] \).

Ответ: \( x \in (-\infty, 3) \cup (3, 4] \).