Решите неравенство: (x² - 7x + 10) / (x - 2) ≤ 0.

Решение:

Сначала найдем корни числителя и знаменателя.

Числитель: \( x^2 - 7x + 10 = 0 \). Дискриминант \( D = (-7)^2 - 4(1)(10) = 49 - 40 = 9 \). Корни: \( x_1 = \frac{7 + \sqrt{9}}{2} = \frac{7+3}{2} = 5 \) и \( x_2 = \frac{7 - \sqrt{9}}{2} = \frac{7-3}{2} = 2 \).

Знаменатель: \( x - 2 = 0 \) => \( x = 2 \).

Теперь рассмотрим знак выражения \( \frac{(x-2)(x-5)}{x-2} \le 0 \).

Обратите внимание, что \( x \ne 2 \) (знаменатель не может быть равен нулю).

Если \( x \ne 2 \), то \( \frac{(x-2)(x-5)}{x-2} = x-5 \).

Таким образом, задача сводится к решению неравенства \( x - 5 \le 0 \) при условии \( x \ne 2 \).

Решим \( x - 5 \le 0 \): \( x \le 5 \).

Учитывая условие \( x \ne 2 \), получаем, что \( x \in (-\infty, 2) \cup (2, 5] \).

1. Разложим числитель на множители: \( x^2 - 7x + 10 = (x-2)(x-5) \).
2. Перепишем неравенство: \( \frac{(x-2)(x-5)}{x-2} \le 0 \).
3. Так как \( x \ne 2 \), мы можем сократить \( (x-2) \) при условии, что \( x-2 \) не равен нулю.
4. Неравенство примет вид: \( x - 5 \le 0 \).
5. Решая это неравенство, получаем \( x \le 5 \).
6. Учитывая, что \( x \ne 2 \), окончательное решение: \( x \in (-\infty, 2) \cup (2, 5] \).

Ответ: \( x \in (-\infty, 2) \cup (2, 5] \).