Решите неравенство (x²-2x-15)(x²-7x+10) ≤0.

Решение:

1. Разложим квадратные трехчлены на множители:
   • Первый трехчлен: x² - 2x - 15
     • Найдем корни уравнения x² - 2x - 15 = 0.
     • D = (-2)² - 4(1)(-15) = 4 + 60 = 64
     • x₁ = \( \frac{2 + \sqrt{64}}{2} \) = \( \frac{2+8}{2} \) = 5
     • x₂ = \( \frac{2 - \sqrt{64}}{2} \) = \( \frac{2-8}{2} \) = -3
     • Таким образом, x² - 2x - 15 = (x - 5)(x + 3)
   • Второй трехчлен: x² - 7x + 10
     • Найдем корни уравнения x² - 7x + 10 = 0.
     • D = (-7)² - 4(1)(10) = 49 - 40 = 9
     • x₃ = \( \frac{7 + \sqrt{9}}{2} \) = \( \frac{7+3}{2} \) = 5
     • x₄ = \( \frac{7 - \sqrt{9}}{2} \) = \( \frac{7-3}{2} \) = 2
     • Таким образом, x² - 7x + 10 = (x - 5)(x - 2)
   • Запишем исходное неравенство с разложенными множителями:
     • (x - 5)(x + 3)(x - 5)(x - 2) ≤ 0
     • (x + 3)(x - 2)(x - 5)² ≤ 0
   • Применим метод интервалов:
     • Найдем корни: x = -3, x = 2, x = 5 (корень кратности 2).
     • Отметим корни на числовой прямой: -3, 2, 5.
     • Определим знаки на интервалах:
       • При x > 5: ( + ) ( + ) ( + )² = +
       • При 2 < x < 5: ( + ) ( + ) ( - )² = +
       • При -3 < x < 2: ( + ) ( - ) ( - )² = -
       • При x < -3: ( - ) ( - ) ( - )² = -
     • Неравенство ≤ 0 выполняется на интервалах, где знак минус. Так как корень x = 5 имеет кратность 2, знак на интервале (2, 5) и (5, +∞) одинаковый.
     • Решение: \( (-\infty; -3] \cup [2; 5] \)

Ответ: \( [ -3; 2 ] \cup \{5\} \)