8. Решите неравенство: log₂(x² - 2x) ≥ 3

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Преобразуем неравенство, используя определение логарифма.
   \[\log_2(x^2 - 2x) \ge 3 \]
   \[ x^2 - 2x \ge 2^3 \]
   \[ x^2 - 2x \ge 8 \]
2. Шаг 2: Переносим все в одну сторону и получаем квадратное неравенство.
   \[ x^2 - 2x - 8 \ge 0 \]
3. Шаг 3: Решаем квадратное уравнение, чтобы найти корни.
   \[ x^2 - 2x - 8 = 0 \]
   \[ D = (-2)^2 - 4(1)(-8) = 4 + 32 = 36 \]
   \[ x_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{36}}{2(1)} = \frac{2 + 6}{2} = 4 \]
   \[ x_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{36}}{2(1)} = \frac{2 - 6}{2} = -2 \]
4. Шаг 4: Определяем знаки неравенства на интервалах.
   Рассматриваем интервалы: \( x < -2 \), \( -2 < x < 4 \), \( x > 4 \).
   Проверяем знак неравенства на каждом интервале.
   
   • \( x < -2 \): Пусть \( x = -3 \), тогда \( (-3)^2 - 2(-3) - 8 = 9 + 6 - 8 = 7 \ge 0 \) (верно).
   • \( -2 < x < 4 \): Пусть \( x = 0 \), тогда \( (0)^2 - 2(0) - 8 = -8 \ge 0 \) (неверно).
   • \( x > 4 \): Пусть \( x = 5 \), тогда \( (5)^2 - 2(5) - 8 = 25 - 10 - 8 = 7 \ge 0 \) (верно).
5. Шаг 5: Учитываем ОДЗ: \( x^2 - 2x > 0 \).
   \[ x(x - 2) > 0 \]
   Корни: \( x = 0 \) и \( x = 2 \).
   Интервалы: \( x < 0 \), \( 0 < x < 2 \), \( x > 2 \).
   Решением ОДЗ является: \( x < 0 \) или \( x > 2 \).
6. Шаг 6: Объединяем решение неравенства с ОДЗ.
   Решение неравенства: \( x \le -2 \) или \( x \ge 4 \).
   ОДЗ: \( x < 0 \) или \( x > 2 \).
   Объединяя, получаем: \( x \le -2 \) или \( x \ge 4 \).

Ответ: \( x \le -2 \) или \( x \ge 4 \).