Решение неравенства

a) $$\frac{4x-x^2}{3+2x} \le 0$$

Для начала разложим числитель на множители:

$$\frac{x(4-x)}{3+2x} \le 0$$

Найдем нули числителя и знаменателя:

• $$x(4-x) = 0 \Rightarrow x = 0$$ или $$x = 4$$
• $$3+2x = 0 \Rightarrow x = -\frac{3}{2}$$

Отметим эти точки на числовой прямой и определим знаки на каждом интервале:

----(-3/2)++++(0)----(4)++++> X

Интервалы:

• $$(-\infty; -\frac{3}{2})$$ - знак '+'
• $$(-\frac{3}{2}; 0)$$ - знак '-'
• $$(0; 4)$$ - знак '+'
• $$(4; +\infty)$$ - знак '-'

Решением будут интервалы, где выражение меньше или равно нулю. Так как неравенство нестрогое, включаем нули числителя, но исключаем нули знаменателя:

Ответ: $$x \in (-\frac{3}{2}; 0] \cup [4; +\infty)$$

б) $$\log_5(3x+1) < 2$$

Перепишем неравенство, используя определение логарифма:

$$3x+1 < 5^2$$Решим полученное неравенство:

$$3x < 24$$ $$x < 8$$

Необходимо также учесть область определения логарифма:

$$3x+1 > 0$$ $$3x > -1$$ $$x > -\frac{1}{3}$$

Таким образом, решением неравенства является пересечение двух интервалов:

$$-\frac{1}{3} < x < 8$$

Ответ: $$x \in (-\frac{1}{3}; 8)$$