Решите графически систему уравнений: \(\begin{cases} xy = -1 \\ x + 3y = 0 \end{cases}\)

Решение:

Для решения системы \(\begin{cases} xy = -1 \\ x + 3y = 0 \end{cases}\) графически, построим графики уравнений.

Из второго уравнения выразим \( x \): \( x = -3y \). Подставим в первое уравнение:

\[ (-3y)y = -1 \]\[ -3y^2 = -1 \]\[ y^2 = \frac{1}{3} \]\[ y = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} \]

Найдем соответствующие значения \( x \):

• При \( y = \frac{\sqrt{3}}{3} \), \( x = -3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = -\sqrt{3} \). Точка пересечения: \((-\sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})\).
• При \( y = -\frac{\sqrt{3}}{3} \), \( x = -3 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{3}) = \sqrt{3} \). Точка пересечения: \((\sqrt{3}, -\frac{\sqrt{3}}{3})\).

График \( xy = -1 \) или \( y = -\frac{1}{x} \) — это гипербола. График \( x + 3y = 0 \) или \( y = -\frac{1}{3}x \) — это прямая, проходящая через начало координат.

Ответ: \((-\sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})\) и \((\sqrt{3}, -\frac{\sqrt{3}}{3})\).