Решите двойное неравенство $$2 < 4 - \frac{3}{4}x < 7$$ и укажите наибольшее целое решение этого неравенства.

Решение двойного неравенства:

Нам нужно решить двойное неравенство $$2 < 4 - \frac{3}{4}x < 7$$. Это означает, что нам нужно найти значения $$x$$, которые удовлетворяют обоим неравенствам одновременно:

\[ 2 < 4 - \frac{3}{4}x \]

и

\[ 4 - \frac{3}{4}x < 7 \]

Давайте начнем с первого неравенства:

\[ 2 < 4 - \frac{3}{4}x \]

Вычтем 4 из обеих частей:

\[ 2 - 4 < -\frac{3}{4}x \]

\[ -2 < -\frac{3}{4}x \]

Умножим обе части на -4/3. Помните, что при умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

\[ -2 \cdot \left(-\frac{4}{3}\right) > x \]

\[ \frac{8}{3} > x \]

Теперь решим второе неравенство:

\[ 4 - \frac{3}{4}x < 7 \]

Вычтем 4 из обеих частей:

\[ -\frac{3}{4}x < 7 - 4 \]

\[ -\frac{3}{4}x < 3 \]

Умножим обе части на -4/3. Снова меняем знак неравенства:

\[ x > 3 \cdot \left(-\frac{4}{3}\right) \]

\[ x > -4 \]

Теперь нам нужно найти пересечение решений обоих неравенств. У нас есть:

\[ x < \frac{8}{3} \]

и

\[ x > -4 \]

Объединяя эти условия, получаем:

\[ -4 < x < \frac{8}{3} \]

Чтобы найти наибольшее целое решение, нужно вспомнить, что $$\frac{8}{3}$$ равно $$2\frac{2}{3}$$ или примерно $$2.67$$.

Целые числа, которые больше -4 и меньше 2.67, это: -3, -2, -1, 0, 1, 2.

Наибольшее целое число из этого списка — это 2.

Ответ: Наибольшее целое решение — 2.