4. Решить задачу с помощью системы уравнений: Периметр прямоугольника равен 34 см, а его диагональ равна 13 см. Найдите стороны прямоугольника.

Ответ: Стороны прямоугольника равны 5 см и 12 см.

Пусть a и b - стороны прямоугольника. Тогда:

\[\begin{cases}2(a + b) = 34 \\a^2 + b^2 = 13^2\end{cases}\]

Упростим первое уравнение: a + b = 17

Выразим b: b = 17 - a

Подставим это выражение во второе уравнение:

\[a^2 + (17 - a)^2 = 169\]\[a^2 + 289 - 34a + a^2 = 169\]\[2a^2 - 34a + 120 = 0\]\[a^2 - 17a + 60 = 0\]

Решим квадратное уравнение:

\[D = (-17)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 60 = 289 - 240 = 49\]\[a_1 = \frac{17 + \sqrt{49}}{2} = \frac{17 + 7}{2} = 12\]\[a_2 = \frac{17 - \sqrt{49}}{2} = \frac{17 - 7}{2} = 5\]

Теперь найдем соответствующие значения b:

Если a = 12, то b = 17 - 12 = 5

Если a = 5, то b = 17 - 5 = 12

Ответ: Стороны прямоугольника равны 5 см и 12 см.