1. Решить систему уравнений: (x + y = 6. 1) (x²- y = 6 X 2 2){x - y = 4 (x² + y² = 8' 2 (9x² - 14x = y. 3) (9x-14 = y (3x² + y = 4. 4) (2x²- y = 1 2 (x² + 3y² 5)*2+ 5) (2x2 + 6y2 1' = 31 = 31x

Ответ: Решение систем уравнений.

1) Решим систему уравнений:

\[\begin{cases}x + y = 6 \\x^2 - y = 6\end{cases}\]

Выразим y из первого уравнения: y = 6 - x

Подставим это выражение во второе уравнение:

\[x^2 - (6 - x) = 6\]\[x^2 + x - 6 = 6\]\[x^2 + x - 12 = 0\]

Решим квадратное уравнение:

\[D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49\]\[x_1 = \frac{-1 + \sqrt{49}}{2} = \frac{-1 + 7}{2} = 3\]\[x_2 = \frac{-1 - \sqrt{49}}{2} = \frac{-1 - 7}{2} = -4\]

Теперь найдем соответствующие значения y:

Если x = 3, то y = 6 - 3 = 3

Если x = -4, то y = 6 - (-4) = 10

Ответ: (3; 3), (-4; 10)

2) Решим систему уравнений:

\[\begin{cases}x - y = 4 \\x^2 + y^2 = 8\end{cases}\]

Выразим x из первого уравнения: x = y + 4

Подставим это выражение во второе уравнение:

\[(y + 4)^2 + y^2 = 8\]\[y^2 + 8y + 16 + y^2 = 8\]\[2y^2 + 8y + 8 = 0\]\[y^2 + 4y + 4 = 0\]\[(y + 2)^2 = 0\]

Следовательно, y = -2

Теперь найдем x: x = -2 + 4 = 2

Ответ: (2; -2)

3) Решим систему уравнений:

\[\begin{cases}9x^2 - 14x = y \\9x - 14 = y\end{cases}\]

Приравняем выражения для y:

\[9x^2 - 14x = 9x - 14\]\[9x^2 - 23x + 14 = 0\]

Решим квадратное уравнение:

\[D = (-23)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 14 = 529 - 504 = 25\]\[x_1 = \frac{23 + \sqrt{25}}{18} = \frac{23 + 5}{18} = \frac{28}{18} = \frac{14}{9}\]\[x_2 = \frac{23 - \sqrt{25}}{18} = \frac{23 - 5}{18} = \frac{18}{18} = 1\]

Теперь найдем соответствующие значения y:

Если x = 14/9, то y = 9 \cdot (14/9) - 14 = 14 - 14 = 0

Если x = 1, то y = 9 \cdot 1 - 14 = -5

Ответ: (14/9; 0), (1; -5)

4) Решим систему уравнений:

\[\begin{cases}3x^2 + y = 4 \\2x^2 - y = 1\end{cases}\]

Сложим уравнения:

\[5x^2 = 5\]\[x^2 = 1\]

Следовательно, x = 1 или x = -1

Теперь найдем соответствующие значения y:

Если x = 1, то y = 4 - 3 \cdot 1^2 = 1

Если x = -1, то y = 4 - 3 \cdot (-1)^2 = 1

Ответ: (1; 1), (-1; 1)

5) Решим систему уравнений:

\[\begin{cases}x^2 + 3y^2 = 31 \\2x^2 + 6y^2 = 31x\end{cases}\]

Заметим, что второе уравнение можно переписать как:

\[2(x^2 + 3y^2) = 31x\]

Учитывая, что x^2 + 3y^2 = 31, получим:

\[2 \cdot 31 = 31x\]\[62 = 31x\]

Следовательно, x = 2

Теперь найдем y:

\[2^2 + 3y^2 = 31\]\[4 + 3y^2 = 31\]\[3y^2 = 27\]\[y^2 = 9\]

Следовательно, y = 3 или y = -3

Ответ: (2; 3), (2; -3)

Ответ: (3; 3), (-4; 10), (2; -2), (14/9; 0), (1; -5), (1; 1), (-1; 1), (2; 3), (2; -3)