Решить уравнение:

1. log₅ (3x + 1) = 2

   3x + 1 = 5²

   3x + 1 = 25

   3x = 24

   x = 8

2. log₃ (x + 2) + log₃ x = 1

   log₃ ((x + 2) * x) = 1

   (x + 2) * x = 3¹

   x² + 2x = 3

   x² + 2x - 3 = 0

   Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

   D = 2² - 4 * 1 * (-3) = 4 + 12 = 16

   x₁ = (-2 + √16) / 2 = (-2 + 4) / 2 = 1

   x₂ = (-2 - √16) / 2 = (-2 - 4) / 2 = -3

   Проверим корни:

   Для x₁ = 1:

   log₃ (1 + 2) + log₃ 1 = log₃ 3 + 0 = 1 + 0 = 1 (подходит)

   Для x₂ = -3:

   log₃ (-3 + 2) + log₃ (-3) - не определено (не подходит)

   x = 1

3. ln (x² - 6x + 9) = ln 3 + ln (x + 3)

   ln (x - 3)² = ln (3(x + 3))

   (x - 3)² = 3(x + 3)

   x² - 6x + 9 = 3x + 9

   x² - 9x = 0

   x(x - 9) = 0

   x₁ = 0

   x₂ = 9

   Проверим корни:

   Для x₁ = 0:

   ln (0² - 6 * 0 + 9) = ln 9

   ln 3 + ln (0 + 3) = ln 3 + ln 3 = ln (3 * 3) = ln 9

   x₁ = 0 (подходит)

   Для x₂ = 9:

   ln (9² - 6 * 9 + 9) = ln (81 - 54 + 9) = ln 36

   ln 3 + ln (9 + 3) = ln 3 + ln 12 = ln (3 * 12) = ln 36

   x₂ = 9 (подходит)