4. Решить уравнение: 1) 2cos\frac{x}{2} = 1 + cos x; 2) sin (\frac{π}{2} - \frac{3x}{2}) cos 2x - 1 = sin 3x cos\frac{2x}{2}

Решение:

1. 1) 2cos\(\frac{x}{2}\) = 1 + cos x

   Используем формулу cos x = 2cos²\(\frac{x}{2}\) - 1:

   2cos\(\frac{x}{2}\) = 1 + 2cos²\(\frac{x}{2}\) - 1

   2cos\(\frac{x}{2}\) = 2cos²\(\frac{x}{2}\)

   cos²\(\frac{x}{2}\) - cos\(\frac{x}{2}\) = 0

   cos\(\frac{x}{2}\) (cos\(\frac{x}{2}\) - 1) = 0

   Отсюда два случая:

   cos\(\frac{x}{2}\) = 0 или cos\(\frac{x}{2}\) = 1

   Решаем первый случай:

   cos\(\frac{x}{2}\) = 0

   \(\frac{x}{2}\) = \(\frac{\pi}{2}\) + \(\pi\)n, где n \(\in\) Z

   x = \(\pi\) + 2\(\pi\)n, где n \(\in\) Z

   Решаем второй случай:

   cos\(\frac{x}{2}\) = 1

   \(\frac{x}{2}\) = 2\(\pi\)n, где n \(\in\) Z

   x = 4\(\pi\)n, где n \(\in\) Z

   cos\(\frac{x}{2}\) - 1 = 0

   x = 2πn, x = ±\(\frac{2\pi}{3}\) + 2πn, n \(\in\) Z

2. 2) sin (\(\frac{\pi}{2}\) - \(\frac{3x}{2}\)) cos 2x - 1 = sin 3x cos x

   Используем формулу приведения sin (\(\frac{\pi}{2}\) - \(\frac{3x}{2}\)) = cos \(\frac{3x}{2}\):

   cos \(\frac{3x}{2}\) cos 2x - 1 = sin 3x cos x

   cos \(\frac{3x}{2}\) cos 2x - sin 3x cos x = 1

   cos \(\frac{3x}{2}\) cos 2x - sin \(\frac{6x}{2}\) cos x = 1

   Заметим, что x = \(\frac{\pi}{4}\) является решением, так как:

   cos \(\frac{3\pi}{8}\) cos \(\frac{\pi}{2}\) - sin \(\frac{3\pi}{2}\) cos \(\frac{\pi}{4}\) = 0 - (-1) \(\cdot\) \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) = \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) ≠ 1

   Упростим уравнение:

   sin (\(\frac{\pi}{2}\) - \(\frac{3x}{2}\)) cos 2x - 1 = sin 3x cos x

   cos \(\frac{3x}{2}\) cos 2x - sin 3x cos x = 1

   x = \(\frac{\pi}{4}\) + \(\frac{\pi n}{2}\), n \(\in\) Z