4. Решить систему рациональных уравнений: 1 1 + = 2 x+y x-y 3 4 + = 7 x+y x-y

Ответ: x = 1/2, y = -1/6

1. Введем новые переменные: \[a = \frac{1}{x+y}, \quad b = \frac{1}{x-y}\] Тогда система уравнений примет вид: \[\begin{cases} a + b = 2 \\ 3a + 4b = 7 \end{cases}\]
2. Решим эту систему. Умножим первое уравнение на 3: \[\begin{cases} 3a + 3b = 6 \\ 3a + 4b = 7 \end{cases}\] Вычтем первое уравнение из второго: \[b = 1\]
3. Подставим b в первое уравнение: \[a + 1 = 2\] \[a = 1\]
4. Теперь вернемся к исходным переменным: \[\frac{1}{x+y} = 1, \quad \frac{1}{x-y} = 1\] \[x + y = 1, \quad x - y = 1\]
5. Сложим эти два уравнения: \[2x = 2\] \[x = 1\]
6. Найдем y: \[1 + y = 1\] \[y = 0\]

Ответ: x = 1, y = 0