Решить систему (3-4). 4. 8 { (13^x)^y = 13^{-8}, \(\frac{3}{2}\)^x \(\cdot\) \(\frac{2}{3}\)^{-y} = \(\frac{4}{9}\), \(\pi\)^x > \(\pi\)^y.

Решение системы №4:

Дана система:

\( \begin{cases} (13^x)^y = 13^{-8} \\ (\frac{3}{2})^x \cdot (\frac{2}{3})^{-y} = \frac{4}{9} \\ \pi^x > \pi^y \end{cases} \)

Рассмотрим первое уравнение:

\( (13^x)^y = 13^{-8} \)

\( 13^{xy} = 13^{-8} \)

Так как основания равны, показатели степеней тоже равны:

\( xy = -8 \) (1)

Рассмотрим второе уравнение:

\( (\frac{3}{2})^x \cdot (\frac{2}{3})^{-y} = \frac{4}{9} \)

Перепишем \( (\frac{2}{3})^{-y} \) как \( (\frac{3}{2})^{y} \) и \( \frac{4}{9} \) как \( (\frac{2}{3})^2 = (\frac{3}{2})^{-2} \).

\( (\frac{3}{2})^x \cdot (\frac{3}{2})^{y} = (\frac{3}{2})^{-2} \)

\( (\frac{3}{2})^{x+y} = (\frac{3}{2})^{-2} \)

Так как основание \( \frac{3}{2} > 1 \), показатели степеней равны:

\( x+y = -2 \) (2)

Теперь решим систему из уравнений (1) и (2):

\( \begin{cases} xy = -8 \\ x+y = -2 \end{cases} \)

Из второго уравнения выразим \( x = -2 - y \) и подставим в первое:

\( (-2 - y)y = -8 \)

\( -2y - y^2 = -8 \)

\( y^2 + 2y - 8 = 0 \)

Решим квадратное уравнение для \( y \):

\( D = 2^2 - 4(1)(-8) = 4 + 32 = 36 \)

\( y = \frac{-2 \pm \sqrt{36}}{2(1)} = \frac{-2 \pm 6}{2} \)

\( y_1 = \frac{-2 + 6}{2} = \frac{4}{2} = 2 \)

\( y_2 = \frac{-2 - 6}{2} = \frac{-8}{2} = -4 \)

Найдем соответствующие значения \( x \) из \( x = -2 - y \):

Если \( y_1 = 2 \), то \( x_1 = -2 - 2 = -4 \).

Если \( y_2 = -4 \), то \( x_2 = -2 - (-4) = -2 + 4 = 2 \).

Таким образом, у нас есть два потенциальных решения: \( (x, y) = (-4, 2) \) и \( (x, y) = (2, -4) \).

Теперь проверим третье условие: \( \pi^x > \pi^y \). Поскольку основание \( \pi > 1 \), это эквивалентно \( x > y \).

Проверим первое решение \( (x, y) = (-4, 2) \):

\( -4 > 2 \) — это ложно.

Проверим второе решение \( (x, y) = (2, -4) \):

\( 2 > -4 \) — это истинно.

Следовательно, единственным решением системы является \( x = 2, y = -4 \).

Ответ: \( x = 2, y = -4 \).