Решить систему (3-4). 3. 7 { 7^{x-2} < 0,4, $\frac{1}{2}$^6 = $\frac{1}{2}$^{x^2+x}

Question

$Фото задания: Решить систему (3-4). 3. 7 { 7^{x-2} < 0,4, $\frac{1}{2}$^6 = $\frac{1}{2}$^{x^2+x}$ Фото задания

Accepted Answer

Дана система:

$ \begin{cases} 7^{x-2} < 0.4 \\ (\frac{1}{2})^6 = (\frac{1}{2})^{x^2+x} \end{cases} $

Рассмотрим второе уравнение:

$ (\frac{1}{2})^6 = (\frac{1}{2})^{x^2+x} $

Поскольку основание степени $ \frac{1}{2} < 1 $, показатели степеней должны быть равны:

$ 6 = x^2 + x $

$ x^2 + x - 6 = 0 $

Решим квадратное уравнение:

$ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(1)(-6) = 1 + 24 = 25 $

$ x = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{2(1)} = \frac{-1 \pm 5}{2} $

$ x_1 = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2 $

$ x_2 = \frac{-1 - 5}{2} = \frac{-6}{2} = -3 $

Теперь подставим найденные значения $ x $ в первое неравенство $ 7^{x-2} < 0.4 $.

Для $ x_1 = 2 $:

$ 7^{2-2} = 7^0 = 1 $

$ 1 < 0.4 $ — это ложно.

Для $ x_2 = -3 $:

$ 7^{-3-2} = 7^{-5} = \frac{1}{7^5} = \frac{1}{16807} $

$ \frac{1}{16807} < 0.4 $ — это истинно.

Следовательно, единственным решением системы является $ x = -3 $.

Ответ: $ x = -3 $.

Решить систему (3-4). 3. 7 { 7^{x-2} < 0,4, \(\frac{1}{2}\)^6 = \(\frac{1}{2}\)^{x^2+x}