8. Решить неравенствоlog2^2x - 3 log2x ≤ 4.

Решение:

Пусть \(y = log_{2} x\). Тогда неравенство можно переписать в виде: \(y^2 - 3y ≤ 4\), или \(y^2 - 3y - 4 ≤ 0\).

Решим квадратное уравнение \(y^2 - 3y - 4 = 0\). Дискриминант: \(D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25\). Корни: \(y_{1} = \frac{3 + \sqrt{25}}{2} = \frac{3 + 5}{2} = 4\) и \(y_{2} = \frac{3 - \sqrt{25}}{2} = \frac{3 - 5}{2} = -1\).

Неравенство \(y^2 - 3y - 4 ≤ 0\) выполняется при \(-1 ≤ y ≤ 4\), т.е. \(-1 ≤ log_{2} x ≤ 4\). Это означает, что \(2^{-1} ≤ x ≤ 2^4\), т.е. \(\frac{1}{2} ≤ x ≤ 16\).

Ответ: [1/2; 16]