148. Разложите на множители многочлен: а) a¹² - a⁶ + a³ - 1; б) b⁶ + b⁴c² − b² − c².

Разложение многочленов на множители – это представление многочлена в виде произведения двух или более многочленов.

а) a¹² - a⁶ + a³ - 1:

Сгруппируем члены:

(a¹² - a⁶) + (a³ - 1)

Вынесем общий множитель в каждой группе:

a⁶(a⁶ - 1) + 1(a³ - 1)

Заметим, что a⁶ - 1 можно представить как (a³)² - 1², что является разностью квадратов:

a⁶(a³ - 1)(a³ + 1) + (a³ - 1)

Теперь вынесем (a³ - 1) как общий множитель:

(a³ - 1)(a⁶(a³ + 1) + 1)

(a³ - 1)(a⁹ + a⁶ + 1)

Используем формулу разности кубов a³ - 1 = (a - 1)(a² + a + 1):

(a - 1)(a² + a + 1)(a⁹ + a⁶ + 1)

б) b⁶ + b⁴c² - b² - c²:

Сгруппируем члены:

(b⁶ + b⁴c²) - (b² + c²)

Вынесем общий множитель в каждой группе:

b⁴(b² + c²) - 1(b² + c²)

Вынесем (b² + c²) как общий множитель:

(b² + c²)(b⁴ - 1)

Заметим, что b⁴ - 1 можно представить как (b²)² - 1², что является разностью квадратов:

(b² + c²)(b² - 1)(b² + 1)

Еще раз используем формулу разности квадратов для (b² - 1) = (b - 1)(b + 1):

(b² + c²)(b - 1)(b + 1)(b² + 1)

Ответ: а) (a - 1)(a² + a + 1)(a⁹ + a⁶ + 1); б) (b² + c²)(b - 1)(b + 1)(b² + 1)