3. Разложите на множители квадратный трёхчлен, выделив квадрат двучлена: a) x² + 14x + 48; б) 25х2 - 10x - 12.

Ответ: a) (x + 6)(x + 8); б) 25(x - (1 + \sqrt{76})/5)(x - (1 - \sqrt{76})/5)

Пошаговое решение:

a) x² + 14x + 48

• Шаг 1: Выделим квадрат двучлена: x² + 14x + 48 = (x² + 14x + 49) - 49 + 48 = (x + 7)² - 1
• Шаг 2: Разложим на множители, используя формулу разности квадратов: (x + 7)² - 1 = (x + 7 - 1)(x + 7 + 1) = (x + 6)(x + 8)

б) 25х² - 10x - 12

• Шаг 1: Выделим квадрат двучлена: 25x² - 10x - 12 = 25(x² - (2/5)x) - 12 = 25(x² - (2/5)x + 1/25) - 25(1/25) - 12 = 25(x - 1/5)² - 1 - 12 = 25(x - 1/5)² - 13
• Шаг 2: Разложим на множители, используя формулу разности квадратов: 25(x - 1/5)² - 13 = 25((x - 1/5)² - 13/25) = 25(x - 1/5 - \sqrt{13/25})(x - 1/5 + \sqrt{13/25}) = 25(x - (1 + \sqrt{76})/5)(x - (1 - \sqrt{76})/5)

Ответ: a) (x + 6)(x + 8); б) 25(x - (1 + \sqrt{76})/5)(x - (1 - \sqrt{76})/5)