5. Докажите, что при любых значениях переменной значение квадратного трёхчлена: a) y² - 6y + 10 положительно; б) -2y² + 4y – 4 отрицательно.

Ответ: a) доказано; б) доказано

Пошаговое решение:

a) y² - 6y + 10

• Шаг 1: Выделим полный квадрат: y² - 6y + 10 = (y² - 6y + 9) + 1 = (y - 3)² + 1
• Шаг 2: Покажем, что выражение всегда положительно: Так как (y - 3)² ≥ 0 для любого y, то (y - 3)² + 1 > 0 для любого y. Значит, y² - 6y + 10 всегда положительно.

б) -2y² + 4y – 4

• Шаг 1: Выделим полный квадрат: -2y² + 4y - 4 = -2(y² - 2y) - 4 = -2(y² - 2y + 1) + 2 - 4 = -2(y - 1)² - 2
• Шаг 2: Покажем, что выражение всегда отрицательно: Так как (y - 1)² ≥ 0 для любого y, то -2(y - 1)² ≤ 0 для любого y. Значит, -2(y - 1)² - 2 < 0 для любого y. Значит, -2y² + 4y - 4 всегда отрицательно.

Ответ: a) доказано; б) доказано