6. Найдите: а) наименьшее значение квадратного трёхчлена а² + 20a + 120; б) наибольшее значение квадратного трёхчлена -2а2 + 20a - 60. Укажите, при каком значении переменной квадратный трёх- член принимает своё наибольшее или наименьшее значение.

Ответ: a) -20 при a = -10; б) -10 при a = 5

Пошаговое решение:

a) a² + 20a + 120

• Шаг 1: Выделим полный квадрат: a² + 20a + 120 = (a² + 20a + 100) + 20 = (a + 10)² + 20
• Шаг 2: Определим наименьшее значение: Так как (a + 10)² ≥ 0 для любого a, то наименьшее значение выражения достигается при (a + 10)² = 0, то есть при a = -10. В этом случае наименьшее значение равно 20.

б) -2a² + 20a - 60

• Шаг 1: Выделим полный квадрат: -2a² + 20a - 60 = -2(a² - 10a) - 60 = -2(a² - 10a + 25) + 50 - 60 = -2(a - 5)² - 10
• Шаг 2: Определим наибольшее значение: Так как -2(a - 5)² ≤ 0 для любого a, то наибольшее значение выражения достигается при (a - 5)² = 0, то есть при a = 5. В этом случае наибольшее значение равно -10.

Ответ: a) -20 при a = -10; б) -10 при a = 5