Разложение на множители

a) $$3x^2 - 24x + 21$$

1. Вынесем общий множитель 3 за скобки: $$3(x^2 - 8x + 7)$$.
2. Найдем корни квадратного трехчлена $$x^2 - 8x + 7$$. Для этого решим уравнение $$x^2 - 8x + 7 = 0$$.
3. Используем теорему Виета: сумма корней равна 8, а произведение равно 7. Подходящие корни: $$x_1 = 1$$ и $$x_2 = 7$$.
4. Представим квадратный трехчлен в виде произведения: $$x^2 - 8x + 7 = (x - 1)(x - 7)$$.
5. Запишем окончательное разложение: $$3x^2 - 24x + 21 = 3(x - 1)(x - 7)$$.

Ответ: $$3(x-1)(x-7)$$

б) $$5x^2 + 10x - 15$$

1. Вынесем общий множитель 5 за скобки: $$5(x^2 + 2x - 3)$$.
2. Найдем корни квадратного трехчлена $$x^2 + 2x - 3$$. Для этого решим уравнение $$x^2 + 2x - 3 = 0$$.
3. Используем теорему Виета: сумма корней равна -2, а произведение равно -3. Подходящие корни: $$x_1 = 1$$ и $$x_2 = -3$$.
4. Представим квадратный трехчлен в виде произведения: $$x^2 + 2x - 3 = (x - 1)(x + 3)$$.
5. Запишем окончательное разложение: $$5x^2 + 10x - 15 = 5(x - 1)(x + 3)$$.

Ответ: $$5(x - 1)(x + 3)$$

в) $$\frac{1}{6}x^2 + \frac{1}{2}x + \frac{1}{3}$$

1. Вынесем общий множитель $$\frac{1}{6}$$ за скобки: $$\frac{1}{6}(x^2 + 3x + 2)$$.
2. Найдем корни квадратного трехчлена $$x^2 + 3x + 2$$. Для этого решим уравнение $$x^2 + 3x + 2 = 0$$.
3. Используем теорему Виета: сумма корней равна -3, а произведение равно 2. Подходящие корни: $$x_1 = -1$$ и $$x_2 = -2$$.
4. Представим квадратный трехчлен в виде произведения: $$x^2 + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2)$$.
5. Запишем окончательное разложение: $$\frac{1}{6}x^2 + \frac{1}{2}x + \frac{1}{3} = \frac{1}{6}(x + 1)(x + 2)$$.

Ответ: $$\frac{1}{6}(x+1)(x+2)$$