Раньше учились, что в параллелограмме \(ABCD\) противоположные стороны равны. Докажите, что \(BC=AD\), если \(\angle BCA=\angle DAC\).

Рассмотрим треугольники \(BCA\) и \(DAC\).

В параллелограмме \(ABCD\) противоположные стороны параллельны, поэтому \(BC\parallel AD\). При пересечении этих параллельных прямых секущей \(AC\) углы \(BCA\) и \(DAC\) являются накрест лежащими и равны, что также дано по условию.

Сторона \(AC\) является общей для обоих треугольников:

\[AC=AC.\]

Кроме того, \(\angle BAC=\angle DCA\) как накрест лежащие углы при параллельных прямых \(AB\parallel CD\) и секущей \(AC\).

Следовательно, \(\triangle BCA=\triangle DAC\) по второму признаку равенства треугольников: по стороне и двум прилежащим к ней углам. Поэтому соответствующие стороны равны:

\[BC=AD.\]