Радиус окружности, описанной около правильного многоугольника, равен 4 см, а сторона многоугольника − 4√3 см. Найдите: 1) радиус окружности, вписанной в многоугольник; 2) количество сторон многоугольника.

Ответ: 1) 2 см, 2) 3 стороны

• Обозначим радиус описанной окружности как R, а сторону многоугольника как a. Тогда, \[R = 4\] \[a = 4\sqrt{3}\]
• Связь между стороной правильного n-угольника и радиусом описанной окружности: \[a = 2R \sin(\frac{\pi}{n})\] Подставим известные значения: \[4\sqrt{3} = 2 \cdot 4 \sin(\frac{\pi}{n})\] \[\sqrt{3} = 2 \sin(\frac{\pi}{n})\] \[\sin(\frac{\pi}{n}) = \frac{\sqrt{3}}{2}\] \[\frac{\pi}{n} = \frac{\pi}{3}\] Отсюда n = 3 (многоугольник - треугольник).
• Для правильного треугольника связь между радиусом описанной окружности R и радиусом вписанной окружности r: \[r = \frac{R}{2}\] Подставим значение R: \[r = \frac{4}{2} = 2\]

Ответ: 1) 2 см, 2) 3 стороны