31. Радиус окружности, описанной оΚΟΛΟ квадрата, равен 8√2. Найдите радиус окруж- ности, вписанной в этот квадрат.

Ответ: 8

1. Радиус окружности, описанной около квадрата, связан со стороной квадрата формулой: \[R = \frac{a\sqrt{2}}{2}\], где R - радиус описанной окружности, a - сторона квадрата.
2. Выразим сторону квадрата через радиус описанной окружности: \[a = \frac{2R}{\sqrt{2}} = \frac{2 \cdot 8\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 16\]
3. Радиус вписанной окружности равен половине стороны квадрата: \[r = \frac{a}{2} = \frac{16}{2} = 8\]

Ответ: 8