10. Пусть последовательность (ад) — арифметическая прогрессия. Докажите, что если каждый член этой прогрессии умножить на одно и то же не равное нулю число, то полученная последова- тельность также будет арифметической прогрессией.

Ответ: Доказано

Пусть дана арифметическая прогрессия \[a_n\], где \[a_{n+1} = a_n + d\].

Умножим каждый член этой прогрессии на число k (k ≠ 0). Получим новую последовательность \[b_n = ka_n\].

Тогда \[b_{n+1} = ka_{n+1} = k(a_n + d) = ka_n + kd = b_n + kd\].

Разность между соседними членами новой последовательности равна \[b_{n+1} - b_n = kd\], что является константой, так как k и d — константы.

Следовательно, полученная последовательность также является арифметической прогрессией.

Ответ: Доказано