Прямые MN и MC касаются окружности с центром в точке O в точках N и C. Найдите NC, если ∠OMN = 30°, MN = 13 см.

Соединим точки O и N, O и C. ON и OC - радиусы окружности, проведённые в точки касания, следовательно, ON ⊥ MN и OC ⊥ MC. ΔMNO - прямоугольный, ∠MNO = 90°, ∠OMN = 30°. Катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. Значит, ON = $$\frac{1}{2}$$OM, отсюда OM = 2ON.

По теореме Пифагора:

$$MN^2 + ON^2 = OM^2$$

$$13^2 + ON^2 = (2ON)^2$$

$$169 + ON^2 = 4ON^2$$

$$3ON^2 = 169$$

$$ON^2 = \frac{169}{3}$$

$$ON = \frac{13}{\sqrt{3}}$$

ΔONM = ΔOCM по катету и гипотенузе (ON = OC - радиусы, OM - общая), следовательно MN = MC = 13 см.

ΔMNC - равнобедренный, т.к. MN = MC. ∠NMC = 180° - (∠OMN + ∠OMC) = 180° - (30° + 30°) = 180° - 60° = 120°.

∠MNC = ∠MCN = (180° - 120°)/2 = 60°/2 = 30°.

По теореме синусов:

$$\frac{NC}{\sin∠NMC} = \frac{MC}{\sin∠MNC}$$ $$\frac{NC}{\sin120°} = \frac{13}{\sin30°}$$ $$NC = \frac{13 \cdot \sin120°}{\sin30°} = \frac{13 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = 13\sqrt{3}$$

NC = $$13\sqrt{3}$$ см.