24. Прямая, параллельная основаниям трапеции ABCD, пересекает ее боковые стороны АВ и CD в точках Е и F соответственно. Найдите длину отрезка EF, если AD = 45, BC = 27, CF: DF = 5:4.

Дано: трапеция ABCD, AD || BC, EF || AD || BC, E \in AB, F \in CD, AD = 45, BC = 27, CF:DF = 5:4.

Найти: EF.

Решение:

1. Обозначим CF = 5x, DF = 4x. Тогда CD = CF + DF = 5x + 4x = 9x.

2. Рассмотрим треугольник CAD. В нём DF/CD = 4x/9x = 4/9. Так как EF || AD, то по теореме Фалеса, DE/EC = DF/FC = 4/5.

3. Применим теорему о пропорциональных отрезках:

$$\frac{EF - BC}{AD - EF} = \frac{CF}{DF}$$.

Так как CF:DF = 5:4, то DE/EC = 4/9.

Тогда можно записать отношение:

$$\frac{EF - 27}{45 - EF} = \frac{5}{9}$$.

4. Решим полученное уравнение для нахождения EF:

$$9(EF - 27) = 5(45 - EF)$$.

$$9EF - 243 = 225 - 5EF$$.

$$14EF = 468$$.

$$EF = \frac{468}{14} = \frac{234}{7}$$.

$$EF = 33 \frac{3}{7}$$.

Ответ: $$\frac{234}{7}$$