21. Постройте график функции y = {5/x, x≥1, -x²-4x, x < 1. и определите, при каких значениях с прямая у = с будет пересекать построенный график в трех точках.

Для построения графика функции $$y = \begin{cases} \frac{5}{x}, & x \ge 1 \\ -x^2 - 4x, & x < 1 \end{cases}$$ рассмотрим каждый участок отдельно.

1. Для $$x \ge 1$$, функция $$y = \frac{5}{x}$$ является гиперболой. Найдем несколько точек для этого участка:

   • Если $$x = 1$$, то $$y = \frac{5}{1} = 5$$
   • Если $$x = 2$$, то $$y = \frac{5}{2} = 2.5$$
   • Если $$x = 5$$, то $$y = \frac{5}{5} = 1$$

   Используем эти точки для построения графика гиперболы на участке $$x \ge 1$$.

2. Для $$x < 1$$, функция $$y = -x^2 - 4x$$ является параболой. Найдем вершину параболы и несколько точек для этого участка:

   Вершина параболы: $$x_v = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-4)}{2(-1)} = -2$$.

   Тогда $$y_v = -(-2)^2 - 4(-2) = -4 + 8 = 4$$

   Так что вершина параболы находится в точке $$(-2, 4)$$.

   Найдем несколько других точек:

   • Если $$x = 0$$, то $$y = -0^2 - 4(0) = 0$$
   • Если $$x = -1$$, то $$y = -(-1)^2 - 4(-1) = -1 + 4 = 3$$
   • Если $$x = -3$$, то $$y = -(-3)^2 - 4(-3) = -9 + 12 = 3$$
   • Если $$x = -4$$, то $$y = -(-4)^2 - 4(-4) = -16 + 16 = 0$$

   Используем эти точки для построения графика параболы на участке $$x < 1$$. Обратите внимание, что точка при $$x = 1$$ не включена в этот участок, поэтому найдем предел функции при $$x \to 1$$:

   $$y = -(1)^2 - 4(1) = -1 - 4 = -5$$

   Получается, что при $$x = 1$$ функция стремится к $$y = -5$$, но эта точка не входит в график.

Чтобы определить, при каких значениях $$c$$ прямая $$y = c$$ пересекает построенный график в трех точках, нужно проанализировать график.

• Прямая $$y = c$$ будет пересекать график в трех точках, если она проходит выше вершины параболы (при $$x < 1$$) и пересекает гиперболу (при $$x \ge 1$$).
• Вершина параболы находится в точке $$(-2, 4)$$, поэтому парабола достигает своего максимума в $$y = 4$$.
• Гипербола $$y = \frac{5}{x}$$ при $$x \ge 1$$ монотонно убывает от $$y = 5$$ (при $$x = 1$$) до $$y = 0$$ (при $$x \to \infty$$).

Следовательно, прямая $$y = c$$ будет пересекать график в трех точках, когда $$0 < c < 3$$. Это обусловлено тем, что при этих значениях $$c$$ прямая пересекает параболу в двух точках (между $$x = -4$$ и $$x = 0$$) и гиперболу в одной точке (при $$x \ge 1$$).

Ответ: $$0 < c < 3$$