233 Проводится серия из п испытаний Бернулли, п≥ 9. Выразите формулой чис- ло элементарных событий, которые благоприятствуют появлению: а) 2 или 3 успехов; б) не более 5 успехов; в) ровно 4, 6 или 9 успехов; г) менее 4 неудач.

В серии из n испытаний Бернулли число элементарных событий, благоприятствующих k успехам, определяется биномиальным коэффициентом C(n, k), где n - общее число испытаний.

$$C(n, k) = \frac{n!}{k! \cdot (n - k)!}$$, где n! - это факториал числа n.

а) 2 или 3 успехов:

Число элементарных событий, благоприятствующих 2 успехам: $$C(n, 2) = \frac{n!}{2! \cdot (n - 2)!}$$

Число элементарных событий, благоприятствующих 3 успехам: $$C(n, 3) = \frac{n!}{3! \cdot (n - 3)!}$$

Общее число элементарных событий, благоприятствующих 2 или 3 успехам: $$C(n, 2) + C(n, 3) = \frac{n!}{2! \cdot (n - 2)!} + \frac{n!}{3! \cdot (n - 3)!}$$

б) не более 5 успехов:

$$C(n, 0) + C(n, 1) + C(n, 2) + C(n, 3) + C(n, 4) + C(n, 5) = \sum_{k=0}^{5} \frac{n!}{k! \cdot (n - k)!}$$

в) ровно 4, 6 или 9 успехов:

$$C(n, 4) + C(n, 6) + C(n, 9) = \frac{n!}{4! \cdot (n - 4)!} + \frac{n!}{6! \cdot (n - 6)!} + \frac{n!}{9! \cdot (n - 9)!}$$

г) менее 4 неудач:

Менее 4 неудач означает, что число успехов больше, чем n - 4. То есть число успехов может быть n, n-1, n-2, n-3. Тогда:

$$C(n, n) + C(n, n - 1) + C(n, n - 2) + C(n, n - 3)$$.

Ответ:

• а) $$C(n, 2) + C(n, 3) = \frac{n!}{2! \cdot (n - 2)!} + \frac{n!}{3! \cdot (n - 3)!}$$
• б) $$\sum_{k=0}^{5} \frac{n!}{k! \cdot (n - k)!}$$
• в) $$C(n, 4) + C(n, 6) + C(n, 9) = \frac{n!}{4! \cdot (n - 4)!} + \frac{n!}{6! \cdot (n - 6)!} + \frac{n!}{9! \cdot (n - 9)!}$$
• г) $$C(n, n) + C(n, n - 1) + C(n, n - 2) + C(n, n - 3)$$