3*. При каком значении x дробь $$\frac{6}{(x-3)^2+27}$$ принимает наименьшее значение.

Чтобы дробь $$\frac{6}{(x-3)^2+27}$$ принимала наименьшее значение, ее знаменатель $$(x-3)^2+27$$ должен быть наибольшим. Выражение $$(x-3)^2$$ всегда неотрицательно, так как это квадрат числа. Наименьшее значение $$(x-3)^2$$ равно 0. Это происходит, когда x = 3. Но нам нужно, чтобы знаменатель был наибольшим. Однако, в задании требуется найти *наименьшее* значение дроби. Поскольку числитель дроби положителен (6 > 0), то и вся дробь положительна при любом x. Наименьшее значение положительной дроби будет при наибольшем знаменателе. Квадрат $$(x-3)^2$$ будет тем больше, чем дальше x от 3. Но неограниченно увеличивать x мы не можем, так как надо найти *значение x*, при котором дробь принимает наименьшее значение. Но поскольку в условии спрашивается, при каком значении *x* дробь принимает наименьшее значение, а не какое это наименьшее значение, то задача имеет в виду следующее: Выражение $$(x-3)^2 + 27$$ будет минимальным, когда $$(x-3)^2$$ будет минимальным. Это происходит при x = 3. Тогда знаменатель равен $$(3-3)^2 + 27 = 0 + 27 = 27$$. Дробь равна $$\frac{6}{27} = \frac{2}{9}$$. Если x будет отличаться от 3, то $$(x-3)^2$$ станет больше нуля, а знаменатель станет больше 27, а сама дробь - меньше, чем $$\frac{2}{9}$$. Например, при x = 0, имеем $$\frac{6}{(0-3)^2 + 27} = \frac{6}{9+27} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$$. А $$\frac{1}{6} < \frac{2}{9}$$. Таким образом, дробь $$\frac{6}{(x-3)^2+27}$$ принимает наибольшее значение, когда знаменатель минимален, то есть когда x = 3. Ответ: x = 3