При каких значениях x выражение $$\sqrt{3x^2 - 19x + 6}$$ имеет смысл?

Выражение $$\sqrt{3x^2 - 19x + 6}$$ имеет смысл, если подкоренное выражение неотрицательно, то есть $$3x^2 - 19x + 6 \ge 0$$.

1. Решим квадратное уравнение $$3x^2 - 19x + 6 = 0$$.
2. Найдём дискриминант: $$D = (-19)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 6 = 361 - 72 = 289$$.
3. Найдём корни: $$x_1 = \frac{-(-19) + \sqrt{289}}{2 \cdot 3} = \frac{19 + 17}{6} = \frac{36}{6} = 6$$, $$x_2 = \frac{-(-19) - \sqrt{289}}{2 \cdot 3} = \frac{19 - 17}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$.
4. Отметим корни на числовой прямой и определим знаки на интервалах:

----(1/3)----(6)----> X

Знаки: + - +.

Решением неравенства $$3x^2 - 19x + 6 \ge 0$$ являются интервалы, где выражение больше или равно нулю.

Ответ: $$x \in (-\infty; \frac{1}{3}] \cup [6; +\infty)$$.