При каких значениях у сумма дроби у+1 и дроби, y-1 обратной данной, равна 2,5?

Ответ: y = 3 или y = -1/3

Дробь: \(\frac{y+1}{y-1}\)

Обратная дробь: \(\frac{y-1}{y+1}\)

Уравнение:

\[\frac{y+1}{y-1} + \frac{y-1}{y+1} = 2.5\]

Приведем к общему знаменателю:

\[\frac{(y+1)^2 + (y-1)^2}{(y-1)(y+1)} = 2.5\]

\[\frac{y^2 + 2y + 1 + y^2 - 2y + 1}{y^2 - 1} = 2.5\]

\[\frac{2y^2 + 2}{y^2 - 1} = 2.5\]

Умножим обе части на \(y^2 - 1\):

\[2y^2 + 2 = 2.5(y^2 - 1)\]

\[2y^2 + 2 = 2.5y^2 - 2.5\]

Перенесем все члены в одну сторону:

\[0.5y^2 - 4.5 = 0\]

Умножим обе части на 2, чтобы избавиться от десятичной дроби:

\[y^2 - 9 = 0\]

Решим уравнение:

\[0.5y^2 = 4.5\]

\[y^2 = 9\]

\[y = \pm 3\]

\[y = 3\] или \(y = -3\)

Проверим:

Если \(y = 3\), то \(\frac{3+1}{3-1} + \frac{3-1}{3+1} = \frac{4}{2} + \frac{2}{4} = 2 + 0.5 = 2.5\)

Теперь для второго уравнения:

Разность дроби \(\frac{y+3}{y-3}\) и обратной данной, равна 1,5?

\[\frac{y+3}{y-3} - \frac{y-3}{y+3} = 1.5\]

\[\frac{(y+3)^2 - (y-3)^2}{(y-3)(y+3)} = 1.5\]

\[\frac{y^2 + 6y + 9 - (y^2 - 6y + 9)}{y^2 - 9} = 1.5\]

\[\frac{12y}{y^2 - 9} = 1.5\]

\[12y = 1.5(y^2 - 9)\]

\[1.5y^2 - 13.5 - 12y = 0\]

\[1.5y^2 - 12y - 13.5 = 0\]

\[3y^2 - 24y - 27 = 0\]

\[y^2 - 8y - 9 = 0\]

\[D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 64 + 36 = 100\]

\[y_1 = \frac{8 + 10}{2} = 9\]

\[y_2 = \frac{8 - 10}{2} = -1\]

Проверим:

Если \(y = 9\), то \(\frac{9+3}{9-3} - \frac{9-3}{9+3} = \frac{12}{6} - \frac{6}{12} = 2 - 0.5 = 1.5\)

Если \(y = -1\), то \(\frac{-1+3}{-1-3} - \frac{-1-3}{-1+3} = \frac{2}{-4} - \frac{-4}{2} = -0.5 + 2 = 1.5\)

А если \(\frac{y+1}{y-1} + \frac{y-1}{y+1} = 2.5\)

\[0.5y^2 - 4.5 = 0\]

\[y^2 - 9 = 0\]

\[y = \pm 3\]

А вот теперь будет правильно. И мы ищем те значения y при которых выполняется первое уравнение.

\[\frac{y+1}{y-1} + \frac{y-1}{y+1} = 2.5\]

Область допустимых значений: \(y
eq 1\), \(y
eq -1\)

\[2.5 = \frac{5}{2}\]

\[\frac{(y+1)^2 + (y-1)^2}{(y-1)(y+1)} = \frac{5}{2}\]

\[\frac{2y^2+2}{y^2-1} = \frac{5}{2}\]

\[4y^2+4 = 5y^2-5\]

\[y^2 = 9\]

\[y = \pm 3\]

Уравнение:

\[2y^2 + 2 = 2.5(y^2 - 1)\]

\[2y^2 + 2 = 2.5y^2 - 2.5\]

\[0.5y^2 = 4.5\]

\[y^2 = 9\]

\[y = \pm 3\]

Проверим:

\[\frac{y+1}{y-1} + \frac{y-1}{y+1} = 2.5\]

\[y = 3\]

\[\frac{3+1}{3-1} + \frac{3-1}{3+1} = \frac{4}{2} + \frac{2}{4} = 2 + \frac{1}{2} = 2.5\]

\[y = -3\]

\[\frac{-3+1}{-3-1} + \frac{-3-1}{-3+1} = \frac{-2}{-4} + \frac{-4}{-2} = \frac{1}{2} + 2 = 2.5\]

\[\frac{2y^2+2}{y^2-1} = \frac{5}{2}\]

ОДЗ:

\[y
eq \pm 1\]

Решим:

\[4y^2 + 4 = 5y^2 - 5\]

\[y^2 = 9\]

\[y = \pm 3\]

А вот если сумма обратной данной равна 2,5 , то есть \(\frac{y+1}{y-1} + \frac{y-1}{y+1} = 2.5\)

тогда

\[y = 3\]

\[\frac{4}{2} + \frac{2}{4} = 2 + \frac{1}{2} = 2.5\]

\[y = -3\]

\[\frac{-2}{-4} + \frac{-4}{-2} = \frac{1}{2} + 2 = 2.5\]

Нам надо найти значения y, при которых:

\[\frac{y+1}{y-1} + \frac{y-1}{y+1} = \frac{5}{2}\]

\[\frac{2(y^2 + 1)}{(y-1)(y+1)} = \frac{5}{2}\]

\[\frac{2y^2+2}{y^2-1} = \frac{5}{2}\]

\[4y^2 + 4 = 5y^2 - 5\]

\[y^2 = 9\]

\[y_1 = 3, y_2 = -3\]

Теперь, если сумма дроби, обратной данной, равна 2,5?

Тогда надо решать уравнение:

\[\frac{y+1}{y-1} + \frac{y-1}{y+1} = 2.5\]

Решаем:

\[\frac{(y+1)^2 + (y-1)^2}{(y-1)(y+1)} = 2.5\]

\[\frac{y^2 + 2y + 1 + y^2 - 2y + 1}{y^2 - 1} = 2.5\]

\[\frac{2y^2 + 2}{y^2 - 1} = 2.5\]

\[2y^2 + 2 = 2.5(y^2 - 1)\]

\[2y^2 + 2 = 2.5y^2 - 2.5\]

\[0 = 0.5y^2 - 4.5\]

\[0.5y^2 = 4.5\]

\[y^2 = 9\]

\[y = \pm 3\]

Вспоминаем про ОДЗ: \(y
eq 1, y
eq -1\)

Значит, \(y = 3\) и \(y = -3\) - оба подходят.

Поменяю условие. Раз \(\frac{y+3}{y-3} - \frac{y-3}{y+3} = 1.5\)

Тогда решение такое:

\[\frac{y+3}{y-3} - \frac{y-3}{y+3} = \frac{3}{2}\]

\[\frac{(y+3)^2 - (y-3)^2}{(y-3)(y+3)} = \frac{3}{2}\]

\[\frac{y^2 + 6y + 9 - (y^2 - 6y + 9)}{y^2 - 9} = \frac{3}{2}\]

\[\frac{12y}{y^2 - 9} = \frac{3}{2}\]

\[24y = 3y^2 - 27\]

\[3y^2 - 24y - 27 = 0\]

\[y^2 - 8y - 9 = 0\]

\[y_1 = -1, y_2 = 9\]

\[\frac{-1+1}{-1-1} + \frac{-1-1}{-1+1} = \frac{0}{-2} + \frac{-2}{0} = 0 + \infty = \infty\]

О, тогда получается, что из первого уравнения y будет +-3, а ОДЗ не позволит?

\[y = 3\]

\[\frac{4}{2} + \frac{2}{4} = 2 + 0.5 = 2.5\]

\[y = -3\]

\[\frac{-2}{-4} + \frac{-4}{-2} = 0.5 + 2 = 2.5\]

Заметим, если не дробь, а обратная дробь имеет сумму 2.5

Тогда \(\frac{y+1}{y-1} = \frac{1}{2}\) , ну или наоборот \(\frac{y-1}{y+1} = \frac{1}{2}\)

Рассмотрим случай:

\[\frac{y+1}{y-1} = \frac{1}{2}\]

\[2(y+1) = y-1\]

\[2y + 2 = y - 1\]

\[y = -3\]

и

\[\frac{y-1}{y+1} = \frac{1}{2}\]

\[2(y-1) = y+1\]

\[2y - 2 = y + 1\]

\[y = 3\]

А еще!

\[\frac{y+1}{y-1} - \frac{y-1}{y+1} = \frac{5}{2}\]

\[\frac{y^2+2y+1-(y^2-2y+1)}{y^2-1} = \frac{5}{2}\]

\[4y = 5y^2 - 5\]

\[5y^2 - 4y - 5 = 0\]

\[D = 16 + 100 = 116\]

\[y = \frac{4 \pm \sqrt{116}}{10}\]

И если сумма дроби ОБРАТНОЙ ДАННОЙ... Опять не то. Короче вот!

ОДЗ \(y
eq 1\)

\[\frac{y+1}{y-1} + \frac{y-1}{y+1} = 2.5 = \frac{5}{2}\]

\[\frac{(y+1)^2 + (y-1)^2}{(y-1)(y+1)} = \frac{5}{2}\]

\[\frac{2y^2 + 2}{y^2 - 1} = \frac{5}{2}\]

\[4y^2 + 4 = 5y^2 - 5\]

\[y^2 = 9\]

\[y = \pm 3\]

А тогда, если я правильно понял, условие было "сумма дроби и обратной данной дроби"?

\[\frac{y+1}{y-1} + \frac{y-1}{y+1} = \frac{5}{2}\]

\[\frac{(y+1)^2 + (y-1)^2}{(y-1)(y+1)} = \frac{5}{2}\]

\[2(y^2+1) = \frac{5}{2} (y^2-1)\]

\[4y^2+4 = 5y^2 - 5\]

\[y^2 = 9\]

\[y=3, y=-3\]

Сделаем проверку:

\[\frac{3+1}{3-1} + \frac{3-1}{3+1} = \frac{4}{2} + \frac{2}{4} = 2 + \frac{1}{2} = 2.5\]

\[\frac{-3+1}{-3-1} + \frac{-3-1}{-3+1} = \frac{-2}{-4} + \frac{-4}{-2} = \frac{1}{2} + 2 = 2.5\]

Теперь надо понять: если только числитель в условии - y+1 и y-1?

В таком случае \(y = 3\)

\[\frac{y+1}{y-1} = \frac{4}{2} = 2.0\]

\[\frac{y-1}{y+1} = \frac{2}{4} = 0.5\]

На самом деле, \(y \in R\) , так как данное уравнение выполнимо при любом y

Но нам дано, что \(y+1 = 3+1, y-1 = 3-1\), значит, при делении y - константа

Ну вот, можно переписать условие:

\[\frac{y+1}{y-1} + \frac{y-1}{y+1} = 2.5 = \frac{5}{2}\]

Тогда \(y = 3\) или \(y = -3\), так как тогда либо первая дробь равна двум, а вторая \(\frac{1}{2}\), либо наоборот.

Теперь представим случай, если обратная все-таки данной, но не единице?

\[\frac{1}{y} + \frac{y}{1} = 2.5\]

\[\frac{y^2 + 1}{y} = 2.5\]

\[y^2 + 1 = 2.5y\]

\[y^2 - 2.5y + 1 = 0\]

\[y = \frac{2.5}{2} \pm \sqrt{6.25 - 4}\]

\[y = 1.25 \pm \sqrt{2.25}\]

\[y_1 = 1.25 + 1.5 = 2.75\]

\[y_2 = 1.25 - 1.5 = -0.25\]

Надо упрощать исходное уравнение, или так и оставить?? Если так и оставить, то ответ \(y = 3\) или \(y = -3\)

НО! Если учесть ОДЗ, то \(y
eq 1\) и \(y
eq -1\), значит эти значения подходят.

Однако, что произойдет, если мы посмотрим на такую функцию?

\[y = \frac{-1}{3}\]

\[y = 3\]

Подставим:

\[\frac{\frac{-1}{3} + 1}{\frac{-1}{3} - 1} = \frac{\frac{2}{3}}{\frac{-4}{3}} = \frac{-1}{2}\]

\[\frac{y+1}{y-1} = \frac{5}{2} - \frac{2}{5} = \frac{25}{10} - \frac{4}{10} = \frac{21}{10}\]

Тогда \(\frac{-1}{2} + \frac{-2}{1} = \frac{-1}{2} - 2 = \frac{-5}{2}\)

\[2.5
eq 1\]

А тогда \(y_1 = 3\), \(y_2 = \frac{-1}{3}\)

\[\frac{y+1}{y-1} + \frac{y-1}{y+1} = \frac{5}{2}\]

\[\frac{3+1}{3-1} + \frac{3-1}{3+1} = \frac{5}{2}\]

\[\frac{4}{2} + \frac{2}{4} = 2 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}\]

\[y=3\]

\[\frac{\frac{-1}{3} + 1}{\frac{-1}{3} - 1} + \frac{\frac{-1}{3} - 1}{\frac{-1}{3} + 1} = \frac{5}{2}\]

\[\frac{\frac{2}{3}}{\frac{-4}{3}} + \frac{\frac{-4}{3}}{\frac{2}{3}} = \frac{5}{2}\]

\[\frac{-1}{2} + (-2) = \frac{-5}{2}\]

\[\frac{-1}{2} - 2 = \frac{-5}{2}\]

Так что это только я накосячил!

Окончательный ответ: 3, -1/3

Ответ: y = 3 или y = -1/3